25. Тип 25 № 316335 Две окружности с центрами О1 и О3 и радиусами 4,5 и 2,5 касаются друг с другом внешним образом и внутренним образом касаются окружности с центром О₂ радиусом 7,5. Найдите угол O1O2O3.

Решение:

Пусть \( r_1 \) — радиус окружности с центром \( O_1 \), \( r_3 \) — радиус окружности с центром \( O_3 \), и \( r_2 \) — радиус окружности с центром \( O_2 \).

По условию:

• \( r_1 = 4.5 \)
• \( r_3 = 2.5 \)
• \( r_2 = 7.5 \)

Окружности с центрами \( O_1 \) и \( O_3 \) касаются друг с другом внешним образом. Расстояние между их центрами равно сумме радиусов:

\[ O_1O_3 = r_1 + r_3 = 4.5 + 2.5 = 7 \]

Окружность с центром \( O_1 \) касается окружности с центром \( O_2 \) внутренним образом. Расстояние между их центрами равно разности радиусов:

\[ O_1O_2 = |r_2 - r_1| = |7.5 - 4.5| = 3 \]

Окружность с центром \( O_3 \) касается окружности с центром \( O_2 \) внутренним образом. Расстояние между их центрами равно разности радиусов:

\[ O_2O_3 = |r_2 - r_3| = |7.5 - 2.5| = 5 \]

Теперь у нас есть треугольник \( \triangle O_1O_2O_3 \) со сторонами:

• \( O_1O_3 = 7 \)
• \( O_1O_2 = 3 \)
• \( O_2O_3 = 5 \)

Мы хотим найти угол \( \angle O_1O_2O_3 \).

Заметим, что \( O_1O_2 + O_2O_3 = 3 + 5 = 8 \), что не равно \( O_1O_3 = 7 \). Значит, точки \( O_1, O_2, O_3 \) не лежат на одной прямой, и треугольник существует.

Чтобы найти угол \( \angle O_1O_2O_3 \), воспользуемся теоремой косинусов для треугольника \( \triangle O_1O_2O_3 \). Пусть \( \gamma = \angle O_1O_2O_3 \).

\[ (O_1O_3)^2 = (O_1O_2)^2 + (O_2O_3)^2 - 2(O_1O_2)(O_2O_3) \cos(\gamma) \]

\[ 7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos(\gamma) \]

\[ 49 = 9 + 25 - 30 \cos(\gamma) \]

\[ 49 = 34 - 30 \cos(\gamma) \]

\[ 49 - 34 = -30 \cos(\gamma) \]

\[ 15 = -30 \cos(\gamma) \]

\[ \cos(\gamma) = \frac{15}{-30} = -0.5 \]

Найдем угол \( \gamma \) по значению косинуса:

\[ \gamma = \arccos(-0.5) \]

Известно, что \( \cos(120^{\circ}) = -0.5 \).

Следовательно, \( \angle O_1O_2O_3 = 120^{\circ} \).

Ответ: 120°.