22. Тип 22 № 340600 Постройте график функции y = (x⁴ - 13x² + 36) / ((x-3)(x+2)) и определите, при каких значениях параметра c прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Данная функция:

\[ y = \frac{x^4 - 13x^2 + 36}{(x-3)(x+2)} \]

Сначала разложим числитель на множители. Замена \( t = x^2 \): \( t^2 - 13t + 36 \). Корни этого квадратного трёхчлена: \( t = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 4 \cdot 36}}{2} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2} = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{13 \pm 5}{2} \).

\( t_1 = \frac{13 + 5}{2} = 9 \), \( t_2 = \frac{13 - 5}{2} = 4 \).

Значит, \( x^2 - 9 = 0 \) и \( x^2 - 4 = 0 \).

Разложим числитель: \( x^4 - 13x^2 + 36 = (x^2 - 9)(x^2 - 4) = (x-3)(x+3)(x-2)(x+2) \).

Теперь подставим разложенный числитель в выражение функции:

\[ y = \frac{(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)}{(x-3)(x+2)} \]

Сократим общие множители \( (x-3) \) и \( (x+2) \), но при этом учтем, что \( x \neq 3 \) и \( x \neq -2 \).

\[ y = (x+3)(x-2) = x^2 + x - 6 \]

Таким образом, график функции — это парабола \( y = x^2 + x - 6 \) с выколотыми точками в \( x = 3 \) и \( x = -2 \).

Найдем значения \( y \) в этих точках:

При \( x = 3 \): \( y = (3+3)(3-2) = 6 \times 1 = 6 \). Точка выколота: \( (3; 6) \).

При \( x = -2 \): \( y = (-2+3)(-2-2) = 1 \times (-4) = -4 \). Точка выколота: \( (-2; -4) \).

График функции — парабола \( y = x^2 + x - 6 \) с вершиной в точке \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5 \).

Значение \( y \) в вершине: \( y = (-0.5)^2 + (-0.5) - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25 \).

Теперь определим, при каких значениях \( c \) прямая \( y = c \) имеет ровно одну общую точку с графиком функции.

Прямая \( y = c \) — это горизонтальная прямая.

1. Если \( c \) равно значению \( y \) в вершине параболы, то есть \( c = -6.25 \), прямая имеет одну общую точку с параболой (вершину).

2. Если \( c \) равно значению \( y \) в одной из выколотых точек, а в другой точке пересечения парабола имеет одно значение \( y \), то прямая будет иметь одну общую точку.

* Если \( c = 6 \) (значение \( y \) при \( x = 3 \)), то прямая \( y = 6 \) будет иметь одну общую точку с параболой (помимо выколотой точки \( (3; 6) \)).

* Если \( c = -4 \) (значение \( y \) при \( x = -2 \)), то прямая \( y = -4 \) также будет иметь одну общую точку с параболой (помимо выколотой точки \( (-2; -4) \)).

Таким образом, прямая \( y = c \) будет иметь ровно одну общую точку с графиком функции при следующих значениях \( c \):

• \( c = -6.25 \) (вершина параболы)
• \( c = 6 \) (соответствует выколотой точке \( (3; 6) \))
• \( c = -4 \) (соответствует выколотой точке \( (-2; -4) \))

Ответ: -6.25, 6, -4.