23. Тип 23 № 311566 Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 27. Найдите площадь этого прямоугольника.

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \).

Периметр прямоугольника равен \( P = 2(a+b) \). По условию \( P = 56 \) см.

\[ 2(a+b) = 56 \]

\[ a+b = \frac{56}{2} = 28 \]

Диагональ прямоугольника \( d \) связана со сторонами соотношением \( d^2 = a^2 + b^2 \) (по теореме Пифагора). По условию \( d = 27 \) см.

\[ a^2 + b^2 = 27^2 = 729 \]

Нам нужно найти площадь прямоугольника \( S = ab \).

Возведем в квадрат уравнение \( a+b = 28 \):

\[ (a+b)^2 = 28^2 \]

\[ a^2 + 2ab + b^2 = 784 \]

Подставим известное значение \( a^2 + b^2 = 729 \):

\[ 729 + 2ab = 784 \]

\[ 2ab = 784 - 729 \]

\[ 2ab = 55 \]

\[ ab = \frac{55}{2} = 27.5 \]

Площадь прямоугольника равна \( 27.5 \) квадратных сантиметров.

Ответ: 27.5 см².