25. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 5, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Обозначим боковые стороны \( AB = 4 \) и \( CD = 5 \). Основание \( BC = 1 \).

Пусть \( DL \) — биссектриса угла \( ADC \), где \( L \) — середина \( AB \).

Так как \( DL \) — биссектриса \( \angle ADC \), то \( \angle ADL = \angle CDL \).

Так как \( AB \parallel CD \) (свойства трапеции), то \( \angle ADL = \angle DLC \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( AB \) и \( CD \) и секущей \( DL \).

Следовательно, \( \angle CDL = \angle DLC \). Это означает, что треугольник \( DLC \) — равнобедренный с основанием \( DL \). Значит, \( CD = CL = 5 \).

\( L \) — середина \( AB \), поэтому \( AL = LB = AB/2 = 4/2 = 2 \).

Теперь рассмотрим треугольник \( ADL \). Сторона \( AL = 2 \).

Из того, что \( CD = 5 \) и \( CL = 5 \), мы можем предположить, что \( CL \) может не совпадать с \( CB \).

Допустим, что \( AD \parallel BC \). Тогда это параллелограмм. Но тогда \( AB = CD \), что неверно \(4 \neq 5\). Значит \( AD \) и \( BC \) — основания, \( AB \) и \( CD \) — боковые стороны.

Перечитаем условие: