21. Имеются два сосуда, содержащие 4 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 57% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом растворе?

Решение:

Пусть \( x \) — концентрация кислоты в первом растворе (в долях), а \( y \) — концентрация кислоты во втором растворе (в долях).

Первый случай: слияние 4 кг и 16 кг.

Общая масса раствора: \( 4 + 16 = 20 \) кг.

Масса кислоты в первом растворе: \( 4x \) кг.

Масса кислоты во втором растворе: \( 16y \) кг.

Общая масса кислоты: \( 4x + 16y \) кг.

Концентрация полученного раствора: \( \frac{4x + 16y}{20} = 0.57 \).

Упростим: \( 4x + 16y = 20 \times 0.57 \)

\[ 4x + 16y = 11.4 \]

Разделим на 4: \( x + 4y = 2.85 \) (1)

Второй случай: слияние равных масс.

Пусть масса каждого раствора равна \( m \) кг.

Масса кислоты в первом растворе: \( mx \) кг.

Масса кислоты во втором растворе: \( my \) кг.

Общая масса раствора: \( m + m = 2m \) кг.

Общая масса кислоты: \( mx + my \) кг.

Концентрация полученного раствора: \( \frac{mx + my}{2m} = 0.60 \).

Упростим: \( \frac{m(x+y)}{2m} = 0.60 \)

\[ \frac{x+y}{2} = 0.60 \]

\[ x + y = 1.2 \] (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( x + 4y = 2.85 \)
2. \( x + y = 1.2 \)

Вычтем второе уравнение из первого:

\[ (x + 4y) - (x + y) = 2.85 - 1.2 \]

\[ 3y = 1.65 \]

\[ y = \frac{1.65}{3} = 0.55 \]

Теперь подставим значение \( y \) во второе уравнение, чтобы найти \( x \):

\[ x + 0.55 = 1.2 \]

\[ x = 1.2 - 0.55 = 0.65 \]

Концентрация первого раствора \( x = 0.65 \), что соответствует 65%.

Ответ: 65%.