25. Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке К. Найдите площадь параллелограмма, если ВС = 7, а расстояние от точки К до стороны АВ равно 4.

Решение:

Пусть \( ABCD \) — параллелограмм. \( BK \) — биссектриса \( \angle B \), \( AK \) — биссектриса \( \angle A \).

Биссектрисы углов \( \angle A \) и \( \angle B \) параллелограмма, прилежащих к одной стороне, пересекаются под прямым углом. Это значит, что \( \angle AKB = 90^{\circ} \).

Также известно, что точка пересечения биссектрис углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равноудалена от двух других сторон. В данном случае, точка \( K \) равноудалена от сторон \( AD \) и \( BC \).

Расстояние от точки \( K \) до стороны \( AB \) равно 4. Это расстояние является высотой треугольника \( \triangle AKB \) к основанию \( AB \). Обозначим это расстояние как \( h_K = 4 \).

Так как \( AK \) — биссектриса \( \angle A \), а \( BK \) — биссектриса \( \angle B \), то \( \angle KAB = \angle KAD \) и \( \angle KBA = \angle KBC \).

\( \angle A + \angle B = 180^{\circ} \) (как односторонние углы).

\( \angle KAB + \angle KBA = \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \cdot 180^{\circ} = 90^{\circ} \).

В \( \triangle AKB \) сумма углов \( \angle AKB + \angle KAB + \angle KBA = 180^{\circ} \).

\( \angle AKB + 90^{\circ} = 180^{\circ} \), следовательно \( \angle AKB = 90^{\circ} \).

Теперь рассмотрим свойство точки \( K \). Расстояние от \( K \) до \( AB \) равно 4. Так как \( K \) лежит на биссектрисе \( \angle A \) и \( \angle B \), то \( K \) равноудалена от сторон \( AD \) и \( BC \).

Из \( \triangle AKB \) следует, что \( AB \) является гипотенузой. Биссектрисы \( AK \) и \( BK \) делят угол \( \angle AKB = 90^{\circ} \).

Рассмотрим другую важную теорему: точка пересечения биссектрис углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, является серединой противоположной стороны, и расстояние от нее до этой стороны равно половине длины другой стороны.

Это означает, что \( K \) является серединой стороны \( CD \) (если \( CD \) параллельна \( AB \)).

Пусть \( AB = a \) и \( BC = b \). По условию \( b = 7 \).

Расстояние от \( K \) до \( AB \) равно 4. Так как \( K \) — середина \( CD \), и \( CD \parallel AB \), то расстояние между \( AB \) и \( CD \) (высота параллелограмма \( h \)) равно удвоенному расстоянию от \( K \) до \( AB \). То есть \( h = 2 \cdot 4 = 8 \).

Также, из свойства точки пересечения биссектрис, \( AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 7 = 14 \). Это утверждение не всегда верно. Точка пересечения биссектрис углов, прилежащих к одной стороне, лежит на середине противоположной стороны, и расстояние от этой точки до одной из прилежащих сторон равно половине длины другой стороны. В нашем случае, \( AB \) и \( BC \) — стороны. \( AB \) и \( AD \) — стороны. \( AB \) и \( BC \) — прилежащие к вершине \( B \).

Рассмотрим \( \triangle AKB \). \( \angle AKB = 90^{\circ} \).

Расстояние от \( K \) до \( AB \) равно 4. Это значит, что высота \( h_c \) \( \triangle AKB \) к гипотенузе \( AB \) равна 4.

Площадь \( \triangle AKB = \frac{1}{2} AB \cdot h_c = \frac{1}{2} AB \cdot 4 = 2 AB \).

Также, \( AK \) — биссектриса \( \angle A \), \( BK \) — биссектриса \( \angle B \).

Свойство: точка пересечения биссектрис углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равноудалена от двух других сторон, а расстояние от нее до этой стороны равно половине длины этой стороны. Не совсем так.

Правильное свойство: точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, лежит на середине противоположной стороны. А расстояние от этой точки до стороны, к которой прилежат биссектрисы, равно половине длины этой стороны.

То есть, \( K \) лежит на середине \( CD \) (если \( CD \parallel AB \)).

Расстояние от \( K \) до \( AB \) равно 4. Это высота \( h_K = 4 \).

Так как \( K \) — середина \( CD \), то высота параллелограмма \( h = 2 \cdot h_K = 2 \cdot 4 = 8 \).

Далее, \( AB = 2 \cdot BC \) если \( K \) — середина \( CD \) и \( BC \) — боковая сторона. Это не всегда так.

Из \( \triangle AKB \) с \( \angle AKB = 90^{\circ} \) и высотой \( h_c = 4 \) к гипотенузе \( AB \).

Используем теорему о биссектрисах: \( AK \) делит \( AB \) и \( BC \) пропорционально. Нет.

Пусть \( AB = a \) и \( BC = b = 7 \).

В \( \triangle AKB \), \( \angle AKB = 90^{\circ} \).

Расстояние от \( K \) до \( AB \) равно 4. Это высота \( h_{\triangle AKB} = 4 \).

Известно, что точка пересечения биссектрис углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, делит противоположную сторону пополам. Значит \( K \) — середина \( CD \).

Высота параллелограмма \( h = 2 \cdot h_{\triangle AKB} = 2 \cdot 4 = 8 \).

Также, \( AB = 2 \cdot BC \) если \( BK \) — биссектриса \( \angle B \).

В \( \triangle ABK \) \( BK \) — биссектриса \( \angle B \). \( AK \) — биссектриса \( \angle A \).

\( \angle KAB + \angle KBA = 90^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle ABK \). \( BK \) — биссектриса \( \angle B \). \( AK \) — биссектриса \( \angle A \).

Из того, что \( AB \parallel CD \) и \( AK \) — секущая, \( \angle BAK = \angle AKD \) (накрест лежащие). Но \( AK \) — биссектриса \( \angle A \) => \( \angle BAK = \angle KAD \).

\( \angle KAD = \angle AKD \). Треугольник \( \triangle AKD \) — равнобедренный, \( AD = KD \).

Аналогично, из \( BC \parallel AD \) и \( BK \) — секущая, \( \angle CBK = \angle BKA \) (накрест лежащие). Но \( BK \) — биссектриса \( \angle B \) => \( \angle CBK = \angle KBA \).

\( \angle KBA = \angle BKA \). Треугольник \( \triangle BKC \) — равнобедренный, \( BC = KC \).

Мы знаем, что \( K \) — середина \( CD \). Значит \( KD = KC \).

Из \( AD = KD \) и \( BC = KC \), и \( KD = KC \), следует, что \( AD = BC \).

Так как \( ABCD \) — параллелограмм, то \( AD = BC \) и \( AB = CD \).

Мы получили \( AD = KD \) и \( BC = KC \).

Поскольку \( K \) — середина \( CD \), то \( KD = KC = \frac{1}{2} CD \).

Следовательно, \( AD = \frac{1}{2} CD \) и \( BC = \frac{1}{2} CD \).

По условию \( BC = 7 \).

Значит, \( CD = 2 \cdot BC = 2 \cdot 7 = 14 \).

Так как \( AB = CD \) в параллелограмме, то \( AB = 14 \).

Высота параллелограмма \( h = 8 \) (как было найдено ранее: \( h = 2 \cdot 4 \)).

Площадь параллелограмма \( S = AB \cdot h \).

\( S = 14 \cdot 8 = 112 \).

Ответ: 112.