23. Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АР = 34, а сторона ВС в 2 раза меньше стороны АВ.

Решение:

Пусть \( AB = c \). По условию \( BC = \frac{1}{2} c \).

Рассмотрим окружность, описанную около четырехугольника KBCP. Так как точки K, B, C, P лежат на окружности, то KBCP — вписанный четырехугольник.

Вписанный четырехугольник KBCP обладает свойством: сумма противоположных углов равна 180 градусов. Однако, это не даст прямого решения.

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle AKР \).

Угол \( \angle A \) — общий для обоих треугольников.

Так как точки K, B, C, P лежат на одной окружности, то угол \( \angle AKР \) равен углу \( \angle ACB \) (как углы, опирающиеся на одну дугу BP, или как внешние углы вписанного четырехугольника).

Следовательно, \( \triangle AKР \sim \triangle ABC \) по двум углам (угол A общий, \( \angle AKР = \angle ACB \)).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

\( \frac{AK}{AC} = \frac{AP}{AB} = \frac{KP}{BC} \).

По условию \( AP = 34 \) и \( BC = \frac{1}{2} AB \).

Из пропорции \( \frac{AP}{AB} = \frac{KP}{BC} \) имеем:

\( \frac{34}{AB} = \frac{KP}{\frac{1}{2} AB} \).

Умножим обе части на \( AB \):

\( 34 = \frac{KP}{\frac{1}{2}} \).

\( 34 = 2 KP \).

\( KP = \frac{34}{2} = 17 \).

Ответ: 17.