22. Постройте график функции $$y = \frac{1}{2} \left( \left| \frac{x}{4,5} - \frac{4,5}{x} \right| + \frac{x}{4,5} + \frac{4,5}{x} \right)$$. Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

22. Постройте график функции $$y = \frac{1}{2} \left( \left| \frac{x}{4,5} - \frac{4,5}{x} \right| + \frac{x}{4,5} + \frac{4,5}{x} \right)$$. Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

$Фото задания: 22. Постройте график функции $y = \frac{1}{2} \left( \left| \frac{x}{4,5} - \frac{4,5}{x} \right| + \frac{x}{4,5} +…$ Фото задания

Accepted Answer

Решение:

Рассмотрим функцию $ y = \frac{1}{2} \left( \left| \frac{x}{4,5} - \frac{4,5}{x} \right| + \frac{x}{4,5} + \frac{4,5}{x} \right) $.

Возможны два случая для выражения под модулем:

Случай 1: $ \frac{x}{4,5} - \frac{4,5}{x} \geq 0 $.
В этом случае $ y = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{x}{4,5} - \frac{4,5}{x} \right) + \frac{x}{4,5} + \frac{4,5}{x} \right) = \frac{1}{2} \left( 2 \cdot \frac{x}{4,5} \right) = \frac{x}{4,5} $.
Условие $ \frac{x}{4,5} - \frac{4,5}{x} \geq 0 $ означает $ \frac{x^2 - 4,5^2}{4,5x} \geq 0 $.
Так как $ 4,5 > 0 $, то $ \frac{x^2 - 4,5^2}{x} \geq 0 $.
Решая это неравенство, получаем $ x \in [-4,5; 0) \cup [4,5; \infty) $.
Случай 2: $ \frac{x}{4,5} - \frac{4,5}{x} < 0 $.
В этом случае $ y = \frac{1}{2} \left( -\left( \frac{x}{4,5} - \frac{4,5}{x} \right) + \frac{x}{4,5} + \frac{4,5}{x} \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{x}{4,5} + \frac{4,5}{x} + \frac{x}{4,5} + \frac{4,5}{x} \right) = \frac{1}{2} \left( 2 \cdot \frac{4,5}{x} \right) = \frac{4,5}{x} $.
Условие $ \frac{x}{4,5} - \frac{4,5}{x} < 0 $ означает $ \frac{x^2 - 4,5^2}{4,5x} < 0 $.
Решая это неравенство, получаем $ x \in (-\infty; -4,5) \cup (0; 4,5) $.

Таким образом, график функции состоит из двух частей:

$ y = \frac{x}{4,5} $ при $ x \in [-4,5; 0) \cup [4,5; \infty) $.

$ y = \frac{4,5}{x} $ при $ x \in (-\infty; -4,5) \cup (0; 4,5) $.

Построим график. График будет симметричен относительно начала координат.

Прямая $ y=m $ будет иметь ровно одну общую точку с графиком в следующих случаях:

Когда $ y = \frac{4,5}{x} $ и $ x < -4,5 $. Значит $ m = \frac{4,5}{x} < \frac{4,5}{-4,5} = -1 $.
Когда $ y = \frac{x}{4,5} $ и $ x = -4,5 $. Значит $ m = \frac{-4,5}{4,5} = -1 $.
Когда $ y = \frac{4,5}{x} $ и $ x \to 0^+ $. Значит $ m \to +\infty $.
Когда $ y = \frac{x}{4,5} $ и $ x = 4,5 $. Значит $ m = \frac{4,5}{4,5} = 1 $.
Когда $ y = \frac{4,5}{x} $ и $ x > 4,5 $. Значит $ m = \frac{4,5}{x} > 0 $ и $ m < \frac{4,5}{4,5} = 1 $.

Также, если $ m = 1 $, то $ y = \frac{x}{4,5} = 1 $ => $ x = 4,5 $ (это одна точка). И $ y = \frac{4,5}{x} = 1 $ => $ x = 4,5 $ (это одна и та же точка).

Если $ m=-1 $, то $ y = \frac{x}{4,5} = -1 $ => $ x = -4,5 $ (это одна точка). И $ y = \frac{4,5}{x} = -1 $ => $ x = -4,5 $ (это одна и та же точка).

График имеет два горизонтальных участка, соответствующие $ y = 1 $ и $ y = -1 $ при $ x \geq 4,5 $ и $ x \leq -4,5 $ соответственно. Также есть асимптоты $ y=0 $ при $ x \to \pm \infty $.

Одна общая точка будет, если $ m = 1 $ (касается ветви $ y = x/4.5 $ при $ x=4.5 $) или $ m = -1 $ (касается ветви $ y = x/4.5 $ при $ x=-4.5 $).

А также, если $ m > 1 $ или $ m < -1 $ (одна точка пересечения с каждой из гипербол).

Переосмыслим условие, прямая y=m имеет ровно одну общую точку. Это происходит, когда m=1 или m=-1.

Ответ: $ m = 1 $ или $ m = -1 $.