24 В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и САВ равны. Докажите, что углы ВСА и BDA также равны.

Доказательство:

Дано:

• Выпуклый четырёхугольник ABCD.


• ∠CDB = ∠CAB

Доказать:

• ∠BCA = ∠BDA

Доказательство:

Рассмотрим углы ∠CDB и ∠CAB. Оба эти угла являются вписанными углами, опирающимися на дугу CB (или дугу, содержащую точку B, если рассматривать относительно точки A).

Теорема: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Условие ∠CDB = ∠CAB означает, что точки A, B, C, D лежат на одной окружности (т.е. четырёхугольник ABCD вписанный).

Теперь рассмотрим углы ∠BCA и ∠BDA.

• Угол ∠BCA является вписанным углом, опирающимся на дугу BA.


• Угол ∠BDA является вписанным углом, опирающимся на дугу BA.

Так как углы ∠BCA и ∠BDA опираются на одну и ту же дугу BA, то по теореме о вписанных углах, они должны быть равны.

∠BCA = ∠BDA

Вывод:

Из равенства углов ∠CDB = ∠CAB следует, что четырёхугольник ABCD является вписанным в окружность. Вписанные углы ∠BCA и ∠BDA опираются на одну и ту же дугу (дугу AB), поэтому они равны.

Что и требовалось доказать.