23. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 35 и 125. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( ∠C = 90^\circ \). Пусть катет \( AC = 35 \) и гипотенуза \( AB = 125 \).

1. Найдем второй катет \( BC \) по теореме Пифагора: \( BC^2 = AB^2 - AC^2 = 125^2 - 35^2 = 15625 - 1225 = 14400 \). \( BC = √{14400} = 120 \).
2. Найдем площадь треугольника двумя способами:
• Через катеты: \( S = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · 35 · 120 = 35 · 60 = 2100 \).
• Через гипотенузу и высоту \( h \) к ней: \( S = \frac{1}{2} · AB · h = \frac{1}{2} · 125 · h \).
3. Приравняем площади: \( \frac{1}{2} · 125 · h = 2100 \).
4. Выразим и найдем высоту \( h \): \( h = \frac{2100 · 2}{125} = \frac{4200}{125} = \frac{840}{25} = \frac{168}{5} = 33.6 \).

Ответ: 33.6