231 Медиана АМ треугольника АВС равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

Привет! Давай докажем, что если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный.

Что такое медиана? Медиана AM соединяет вершину A с серединой противоположной стороны BC. То есть, M — середина BC.

Условие: AM = BM = MC (потому что BC = BM + MC, и M — середина, так что BM = MC, а по условию AM = BC/2, значит AM = BM = MC).

Что это значит? Точка M равноудалена от вершин A, B и C. Это значит, что M — центр описанной окружности для треугольника ABC.

А что дальше? Если M — центр описанной окружности, то BC является диаметром этой окружности (так как M — середина BC, а BM = MC = AM = радиус).

Помнишь свойство прямоугольного треугольника? Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, является прямым.

У нас угол ∠BAC вписан в окружность и опирается на диаметр BC. Следовательно, ∠BAC = 90°.

Вывод: Треугольник ABC — прямоугольный.

Доказано!