22. Решите систему уравнений: { x + y² = 200, log₁₀(10x) - log₁₀(y) = 2 }

Решение:

1. Преобразуем второе уравнение, используя свойства логарифмов: \( \log_{10}\left(\frac{10x}{y}\right) = 2 \).
2. Переведём логарифмическое уравнение в показательное: \( \frac{10x}{y} = 10^2 \) \( \Rightarrow \) \( \frac{10x}{y} = 100 \).
3. Отсюда выразим \( x \): \( 10x = 100y \) \( \Rightarrow \) \( x = 10y \).
4. Подставим \( x = 10y \) в первое уравнение: \( 10y + y^2 = 200 \).
5. Получим квадратное уравнение: \( y^2 + 10y - 200 = 0 \).
6. Решим квадратное уравнение: \( D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 100 + 800 = 900 \).
7. \( \sqrt{D} = \sqrt{900} = 30 \).
8. \( y_1 = \frac{-10 + 30}{2} = \frac{20}{2} = 10 \).
9. \( y_2 = \frac{-10 - 30}{2} = \frac{-40}{2} = -20 \).
10. Учтём, что в исходной системе \( y \) находится под знаком логарифма, поэтому \( y > 0 \). Следовательно, \( y_2 = -20 \) не подходит.
11. Остаётся \( y = 10 \).
12. Найдём \( x \), подставив \( y = 10 \) в уравнение \( x = 10y \): \( x = 10 \cdot 10 = 100 \).
13. Проверим найденные значения в исходной системе: \( 100 + 10^2 = 100 + 100 = 200 \) (верно). \( \log_{10}(10 × 100) - \log_{10}(10) = \log_{10}(1000) - \log_{10}(10) = 3 - 1 = 2 \) (верно).

Ответ: x = 100, y = 10.