19. Найдите наименьшее значение функции y = 3 cos x + 12x + 7 на отрезке [-π/2; π/2]

Решение:

1. Найдём производную функции: \( y' = (3 \cos x + 12x + 7)' = -3 \sin x + 12 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( -3 \sin x + 12 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( \sin x = 4 \).
3. Уравнение \( \sin x = 4 \) не имеет решений, так как значение синуса всегда находится в диапазоне [-1; 1].
4. Следовательно, функция не имеет точек экстремума на данном интервале.
5. Проверим значения функции на концах отрезка [-π/2; π/2].
6. При \( x = -\frac{\pi}{2} \): \( y = 3 \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + 12\left(-\frac{\pi}{2}\right) + 7 = 3 \cdot 0 - 6\pi + 7 = 7 - 6\pi \).
7. При \( x = \frac{\pi}{2} \): \( y = 3 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 12\left(\frac{\pi}{2}\right) + 7 = 3 \cdot 0 + 6\pi + 7 = 7 + 6\pi \).
8. Так как \( \sin x \) возрастает на отрезке \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), а \( 12x \) также возрастает, то функция \( y = 3 \cos x + 12x + 7 \) на этом отрезке не является монотонной. Однако, производная \( y' = 12 - 3\sin x \) всегда положительна на данном отрезке, так как \( -1 \le \sin x \le 1 \), следовательно \( -3 \le -3\sin x \le 3 \), и \( 9 \le 12 - 3\sin x \le 15 \).
9. Раз производная всегда положительна, функция является возрастающей.
10. Наименьшее значение будет при \( x = -\frac{\pi}{2} \).

Ответ: Наименьшее значение функции равно \( 7 - 6\pi \).