20. Решите уравнение: 16^x + 3 · 20^x = 4 · 25^x

Решение:

1. Разделим обе части уравнения на \( 25^x \) (так как \( 25^x \) никогда не равно нулю).
2. \( \frac{16^x}{25^x} + 3 \cdot \frac{20^x}{25^x} = \frac{4 \cdot 25^x}{25^x} \)
3. \( \left(\frac{16}{25}\right)^x + 3 \cdot \left(\frac{20}{25}\right)^x = 4 \)
4. Упростим дроби: \( \frac{16}{25} = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \) и \( \frac{20}{25} = \frac{4}{5} \).
5. Уравнение примет вид: \( \left(\left(\frac{4}{5}\right)^2\right)^x + 3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^x = 4 \)
6. \( \left(\frac{4}{5}\right)^{2x} + 3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^x = 4 \)
7. Сделаем замену переменной: пусть \( t = \left(\frac{4}{5}\right)^x \). Так как \( \left(\frac{4}{5}\right)^x \) всегда положительно, то \( t > 0 \).
8. Получим квадратное уравнение: \( t^2 + 3t = 4 \) \( \Rightarrow \) \( t^2 + 3t - 4 = 0 \).
9. Решим квадратное уравнение: \( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \).
10. \( t_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \).
11. \( t_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 - 5}{2} = -4 \).
12. Так как \( t > 0 \), то \( t_2 = -4 \) не подходит.
13. Возвращаемся к замене: \( \left(\frac{4}{5}\right)^x = 1 \).
14. Любое число в нулевой степени равно 1, поэтому \( x = 0 \).

Ответ: x = 0.