22. Постройте график функции y = −x² − 8x − 12, если x ≤ −1; y = 2x − 3, если x > −1. Определите, при каких значениях x прямая y = c имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

График состоит из двух частей.

Для \(x\leqslant-1\):

\(y=-x^2-8x-12=4-(x+4)^2\).

Это ветвь параболы с вершиной \((-4.\ 4)\). При \(x=-1\) получаем \(y=-5\), поэтому точка \((-1.\ -5)\) принадлежит графику.

Для \(x>-1\): \(y=2x-3\). При \(x=-1\) значение равно \(-5\), но эта точка не входит во вторую часть.

Парабола на промежутке \(x\ne[-1.\ +\infty)\) принимает все значения \(y\leqslant4\). Прямая на промежутке \(x>-1\) принимает все значения \(y>-5\).

Рассмотрим горизонтальную прямую \(y=c\):

• при \(c>4\) общих точек нет;
• при \(c=4\) одна общая точка — вершина параболы;
• при \(-5
• при \(c=-5\) есть одна точка на параболе; точка прямой с координатами \((-1.\ -5)\) не входит в график;
• при \(c<-5\) есть одна точка на параболе.

Следовательно, ровно одна общая точка получается при \(c=4\) и при \(c\leqslant-5\).

Для построения можно отметить точки параболы \((-7.\ -5)\), \((-6.\ 0)\), \((-5.\ 3)\), \((-4.\ 4)\), \((-3.\ 3)\), \((-2.\ 0)\), \((-1.\ -5)\), а на прямой — точки \((0.\ -3)\), \((1.\ -1)\), \((2.\ 1)\). Точка \((-1.\ -5)\) для прямой выколота.

Ответ: \(c\in(-\infty.\ -5]\cup\{4\}\).