20 Решите уравнение x¹ - 5x² - 6 = 0.

Решение:

Данное уравнение является биквадратным. Сделаем замену переменной: пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 5y - 6 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение методом дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2} = 6 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2} = -1 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = x^2 \):

1. \( x^2 = 6 \) \( \implies \) \( x = \pm\sqrt{6} \)

2. \( x^2 = -1 \) — это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Таким образом, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: \( x = \pm\sqrt{6} \).