22. Постройте график функции y=x²-|4x+5| и определите, при каких значениях т прямая у=т имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

Чтобы построить график функции \( y = x^2 - |4x+5| \), нужно рассмотреть два случая в зависимости от знака выражения под модулем \( 4x+5 \).

Случай 1: \( 4x+5 \ge 0 \) ⇒ \( 4x \ge -5 \) ⇒ \( x \ge -1.25 \)

В этом случае \( |4x+5| = 4x+5 \). Функция принимает вид:

\[ y = x^2 - (4x+5) \]\[ y = x^2 - 4x - 5 \]

Это парабола, ветви вверх. Найдем вершину параболы:

\( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( y_в = 2^2 - 4 \cdot 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 \)

Вершина находится в точке \( (2; -9) \). Эта часть графика существует при \( x \ge -1.25 \).

Случай 2: \( 4x+5 < 0 \) ⇒ \( 4x < -5 \) ⇒ \( x < -1.25 \)

В этом случае \( |4x+5| = -(4x+5) = -4x-5 \). Функция принимает вид:

\[ y = x^2 - (-(4x+5)) \]\[ y = x^2 + 4x + 5 \]

Это также парабола, ветви вверх. Найдем вершину параболы:

\( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \cdot 1} = -2 \)

\( y_в = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 \)

Вершина находится в точке \( (-2; 1) \). Эта часть графика существует при \( x < -1.25 \).

Области определения для каждой части:

• \( y = x^2 - 4x - 5 \) для \( x \in [-1.25; \infty) \)
• \( y = x^2 + 4x + 5 \) для \( x \in (-\infty; -1.25) \)

Построение графика:

График будет состоять из двух частей парабол:

• Для \( x \ge -1.25 \) — часть параболы \( y = x^2 - 4x - 5 \) с вершиной в \( (2; -9) \).
• Для \( x < -1.25 \) — часть параболы \( y = x^2 + 4x + 5 \) с вершиной в \( (-2; 1) \).

График:

Определение значений \( m \) для трёх общих точек:

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная линия. Чтобы она имела ровно три общие точки с графиком, она должна проходить через вершину одной из парабол и пересекать другую ветвь другой параболы.

Рассмотрим вершины парабол:

• Вершина \( (-2; 1) \) для \( y = x^2 + 4x + 5 \) при \( x < -1.25 \).
• Вершина \( (2; -9) \) для \( y = x^2 - 4x - 5 \) при \( x \ge -1.25 \).

Если \( m = 1 \), то прямая \( y = 1 \) пройдет через вершину \( (-2; 1) \). Она также пересечет вторую часть графика \( y = x^2 - 4x - 5 \). Найдем точки пересечения:

\[ 1 = x^2 - 4x - 5 \]\[ x^2 - 4x - 6 = 0 \]\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 2 \pm \sqrt{10} \]

\( 2 + \sqrt{10} \approx 5.16 \) (это \( > -1.25 \), значит, точка есть)

\( 2 - \sqrt{10} \approx -1.16 \) (это \( > -1.25 \), значит, точка есть)

Таким образом, при \( m=1 \) имеем три точки: \( (-2; 1) \) и две точки пересечения с \( y=1 \).

Если \( m = -9 \), то прямая \( y = -9 \) пройдет через вершину \( (2; -9) \). Она также пересечет вторую часть графика \( y = x^2 + 4x + 5 \). Найдем точки пересечения:

\[ -9 = x^2 + 4x + 5 \]\[ x^2 + 4x + 14 = 0 \]\[ D = 4^2 - 4(1)(14) = 16 - 56 = -40 < 0 \]

Нет действительных решений, значит, при \( m = -9 \) имеем только одну точку.

Кроме того, три точки будет, когда прямая \( y=m \) проходит через точку стыка графиков \( x=-1.25 \) и пересекает другую часть графика. Найдем значение \( y \) в точке стыка \( x=-1.25 \) для второй параболы:

\[ y = (-1.25)^2 + 4(-1.25) + 5 = 1.5625 - 5 + 5 = 1.5625 \]

Если \( m = 1.5625 \), то прямая \( y = 1.5625 \) пройдет через точку стыка \( (-1.25; 1.5625) \) и пересечет первую параболу \( y = x^2 - 4x - 5 \). Найдем точки пересечения:

\[ 1.5625 = x^2 - 4x - 5 \]\[ x^2 - 4x - 6.5625 = 0 \]\[ D = (-4)^2 - 4(1)(-6.5625) = 16 + 26.25 = 42.25 \]\[ \sqrt{D} = \sqrt{42.25} = 6.5 \]\[ x = \frac{4 \pm 6.5}{2} \]\[ x_1 = \frac{4 + 6.5}{2} = \frac{10.5}{2} = 5.25 \]\[ x_2 = \frac{4 - 6.5}{2} = \frac{-2.5}{2} = -1.25 \]

Одна из точек пересечения — это точка стыка \( x=-1.25 \). Вторая точка \( x=5.25 \). Таким образом, при \( m = 1.5625 \) имеем две точки.

Значит, единственное значение \( m \), при котором прямая \( y=m \) имеет ровно три общие точки с графиком — это \( m=1 \).

Ответ: \( m=1 \)