20. Решите уравнение (х-6)⁴+2(х-6)²-35=0.

Решение:

Это биквадратное уравнение относительно \( (x-6)^2 \). Сделаем замену переменной:

Пусть \( y = (x-6)^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 + 2y - 35 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{144} = 12 \)

Найдем значения \( y \):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 12}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5 \]\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 12}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7 \]

Теперь вернемся к замене \( y = (x-6)^2 \):

1. \( (x-6)^2 = 5 \)

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

\[ x-6 = \pm \sqrt{5} \]\[ x = 6 \pm \sqrt{5} \]

Получаем два корня: \( x_1 = 6 + \sqrt{5} \) и \( x_2 = 6 - \sqrt{5} \).

1. \( (x-6)^2 = -7 \)

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: \( 6 + \sqrt{5} \), \( 6 - \sqrt{5} \)