22. Постройте график функции y = (3x-5)/(3x²-5x) и определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Для построения графика функции \( y = \frac{3x-5}{3x^2-5x} \), сначала упростим выражение.

Разложим знаменатель на множители: \( 3x^2 - 5x = x(3x - 5) \).

Теперь функция примет вид:

\( y = \frac{3x-5}{x(3x-5)} \)

При \( 3x - 5 \neq 0 \) (то есть \( x \neq \frac{5}{3} \)), мы можем сократить дробь:

\( y = \frac{1}{x} \)

Однако, нужно учесть, что \( x \neq 0 \) (так как \( x \) находится в знаменателе) и \( x \neq \frac{5}{3} \) (так как \( 3x-5 \) сокращается).

Таким образом, график функции \( y = \frac{3x-5}{3x^2-5x} \) — это гипербола \( y = \frac{1}{x} \) с выколотыми точками в \( x = 0 \) и \( x = \frac{5}{3} \).

При \( x = 0 \), функция не определена. При \( x = \frac{5}{3} \), \( y = \frac{1}{5/3} = \frac{3}{5} \). То есть, точка \( (\frac{5}{3}, \frac{3}{5}) \) выколота.

Теперь рассмотрим прямую \( y = kx \). Эта прямая проходит через начало координат \( (0,0) \).

Чтобы прямая \( y = kx \) имела с графиком ровно одну общую точку, необходимо рассмотреть несколько случаев:

1. Прямая проходит через выколотую точку \( (\frac{5}{3}, \frac{3}{5}) \).

Подставим координаты выколотой точки в уравнение прямой:

\( \frac{3}{5} = k \cdot \frac{5}{3} \)

\( k = \frac{3}{5} : \frac{5}{3} = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25} \)

При \( k = \frac{9}{25} \), прямая \( y = \frac{9}{25}x \) проходит через выколотую точку \( (\frac{5}{3}, \frac{3}{5}) \). В этом случае, кроме выколотой точки, прямая будет иметь еще одну точку пересечения с графиком \( y = \frac{1}{x} \) (так как \( y = \frac{1}{x} \) и \( y = \frac{9}{25}x \) пересекаются в двух точках: \( (0,0) \) и \( (\frac{5}{3}, \frac{3}{5}) \)). Таким образом, у исходной функции будет одна точка пересечения.

2. Прямая является касательной к графику \( y = \frac{1}{x} \) (кроме точки \( (0,0) \), через которую проходит прямая).

Уравнение касательной к графику \( y = \frac{1}{x} \) в точке \( (x_0, y_0) \) имеет вид \( y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0) \).

Производная \( y' = -\frac{1}{x^2} \).

Уравнение касательной: \( y - \frac{1}{x_0} = -\frac{1}{x_0^2}(x - x_0) \).

\( y = -\frac{1}{x_0^2}x + \frac{1}{x_0} + \frac{1}{x_0} \)

\( y = -\frac{1}{x_0^2}x + \frac{2}{x_0} \)

Эта прямая должна совпадать с \( y = kx \), то есть иметь вид \( y = kx + 0 \). Это возможно только если \( \frac{2}{x_0} = 0 \), что невозможно.

Однако, прямая \( y = kx \) проходит через начало координат. График \( y = \frac{1}{x} \) не проходит через начало координат.

Единственный случай, когда прямая \( y = kx \) имеет ровно одну общую точку с графиком \( y = \frac{1}{x} \) (с выколотыми точками), это когда она проходит через выколотую точку \( (\frac{5}{3}, \frac{3}{5}) \) и при этом не пересекает гиперболу \( y = \frac{1}{x} \) в другой точке, кроме начала координат, которое не является частью графика \( y = \frac{1}{x} \).

Когда \( k = \frac{9}{25} \), прямая \( y = \frac{9}{25}x \) проходит через \( (\frac{5}{3}, \frac{3}{5}) \). Решая \( \frac{1}{x} = \frac{9}{25}x \), получаем \( 25 = 9x^2 \), \( x^2 = \frac{25}{9} \), \( x = \pm \frac{5}{3} \).

При \( x = \frac{5}{3} \), \( y = \frac{3}{5} \). Это выколотая точка.

При \( x = -\frac{5}{3} \), \( y = \frac{1}{-5/3} = -\frac{3}{5} \).

Значит, при \( k = \frac{9}{25} \), прямая \( y = \frac{9}{25}x \) пересекает график \( y = \frac{1}{x} \) в точках \( (\frac{5}{3}, \frac{3}{5}) \) (выколотая) и \( (-\frac{5}{3}, -\frac{3}{5}) \). Следовательно, для исходной функции будет одна точка пересечения \( (-\frac{5}{3}, -\frac{3}{5}) \).

Ответ: k = 9/25