22. Найдите ∠DOE, если DO биссектриса ∠AOC. 6) Найдите LM, если KM = 9 см, LN = 8 см, KN = 12 см.

22. Решение:

Поскольку DO является биссектрисой \( \angle AOC \), то \( \angle AOD = \angle DOC \). По условию \( \angle DOE = 30^{\circ} \). Из рисунка видно, что \( \angle AOC = \angle AOD + \angle DOC + \angle COE \). Также \( \angle AOC = \angle AOD + \angle DOC \).

Из рисунка видно, что \( \angle COD = \angle COE + \angle EOD \).

Так как \( DO \) — биссектриса \( \angle AOC \), то \( \angle AOD = \angle DOC \).

Из рисунка, \( \angle DOC = \angle DOE + \angle EOC \).

На рисунке видно, что \( \angle COE = 30^{\circ} \) и \( \angle EOD = 30^{\circ} \).

Так как \( DO \) — биссектриса \( \angle AOC \), то \( \angle AOD = \angle DOC \). \( \angle DOC = \angle DOE + \angle EOC \) - это неверно, если \( E \) находится между \( D \) и \( C \).

По условию \( DO \) — биссектриса \( \angle AOC \), значит \( \angle AOD = \angle DOC \). Из рисунка \( \angle DOE = 30^{\circ} \). Также из рисунка \( \angle EOC = 30^{\circ} \).

Следовательно, \( \angle DOC = \angle DOE + \angle EOC = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Так как \( DO \) — биссектриса \( \angle AOC \), то \( \angle AOD = \angle DOC = 60^{\circ} \).

Таким образом, \( \angle DOE = 30^{\circ} \) (по условию).

Ответ: \( \angle DOE = 30^{\circ} \).

6) Решение:

По условию дано, что \( KM = 9 \) см, \( LN = 8 \) см, \( KN = 12 \) см.

Нам нужно найти длину отрезка \( LM \).

На отрезке \( KN \) расположены точки \( K, L, M, N \) в таком порядке.

Длина всего отрезка \( KN = 12 \) см.

Из рисунка видно, что \( KL + LM + MN = KN \).

Мы знаем, что \( KM = KL + LM = 9 \) см.

Также известно, что \( LN = LM + MN = 8 \) см.

Сложим оба равенства:

\( (KL + LM) + (LM + MN) = 9 + 8 \)

\( KL + 2LM + MN = 17 \)

Мы знаем, что \( KL + LM + MN = KN = 12 \) см.

Подставим это в предыдущее уравнение:

\( (KL + LM + MN) + LM = 17 \)

\( 12 + LM = 17 \)

\( LM = 17 - 12 \)

\( LM = 5 \) см.

Ответ: \( LM = 5 \) см.