28. Постройте ломаную MNAP, если M (-10; -3), N (-8; 5), A(0; -1), P (7; 2) и ломаную BCF, если F (5; 3), C (-2; 7), B (-6; -3). Отметьте точки пересечения ломаных и запишите их координаты.

Решение:

Построение ломаных:

1. Ломаная MNAP: Отмечаем точки M(-10; -3), N(-8; 5), A(0; -1), P(7; 2) на координатной плоскости и соединяем их отрезками: MN, NA, AP.
2. Ломаная BCF: Отмечаем точки B(-6; -3), C(-2; 7), F(5; 3) на координатной плоскости и соединяем их отрезками: BC, CF.

Нахождение точек пересечения:

Для нахождения точки пересечения ломаных необходимо найти пересечения отрезков, составляющих эти ломаные.

1. Пересечение отрезка NA с отрезком BC:

Уравнение прямой, проходящей через точки N(-8; 5) и A(0; -1):

\( y - 5 = \frac{-1 - 5}{0 - (-8)}(x - (-8)) \)

\( y - 5 = \frac{-6}{8}(x + 8) \)

\( y - 5 = -\frac{3}{4}(x + 8) \)

\( y - 5 = -\frac{3}{4}x - 6 \)

\( y = -\frac{3}{4}x - 1 \)

Уравнение прямой, проходящей через точки B(-6; -3) и C(-2; 7):

\( y - (-3) = \frac{7 - (-3)}{-2 - (-6)}(x - (-6)) \)

\( y + 3 = \frac{10}{4}(x + 6) \)

\( y + 3 = \frac{5}{2}(x + 6) \)

\( y + 3 = \frac{5}{2}x + 15 \)

\( y = \frac{5}{2}x + 12 \)

Приравниваем уравнения:

\( -\frac{3}{4}x - 1 = \frac{5}{2}x + 12 \)

\( -1 - 12 = \frac{5}{2}x + \frac{3}{4}x \)

\( -13 = \frac{10}{4}x + \frac{3}{4}x \)

\( -13 = \frac{13}{4}x \)

\( x = -13 \times \frac{4}{13} = -4 \)

Подставляем \( x = -4 \) в уравнение прямой BC:

\( y = \frac{5}{2}(-4) + 12 = -10 + 12 = 2 \)

Точка пересечения отрезков NA и BC: \( (-4, 2) \). Проверим, лежит ли эта точка на отрезках.

Для NA: \( x \) от -8 до 0. \( -4 \) входит в этот интервал. \( y \) от -1 до 5. \( 2 \) входит в этот интервал.

Для BC: \( x \) от -6 до -2. \( -4 \) входит в этот интервал. \( y \) от -3 до 7. \( 2 \) входит в этот интервал.

Точка пересечения P1: (-4, 2).

2. Пересечение отрезка AP с отрезком CF:

Уравнение прямой, проходящей через точки A(0; -1) и P(7; 2):

\( y - (-1) = \frac{2 - (-1)}{7 - 0}(x - 0) \)

\( y + 1 = \frac{3}{7}x \)

\( y = \frac{3}{7}x - 1 \)

Уравнение прямой, проходящей через точки C(-2; 7) и F(5; 3):

\( y - 7 = \frac{3 - 7}{5 - (-2)}(x - (-2)) \)

\( y - 7 = \frac{-4}{7}(x + 2) \)

\( y - 7 = -\frac{4}{7}x - \frac{8}{7} \)

\( y = -\frac{4}{7}x - \frac{8}{7} + 7 \)

\( y = -\frac{4}{7}x + \frac{41}{7} \)

Приравниваем уравнения:

\( \frac{3}{7}x - 1 = -\frac{4}{7}x + \frac{41}{7} \)

\( \frac{3}{7}x + \frac{4}{7}x = \frac{41}{7} + 1 \)

\( \frac{7}{7}x = \frac{41}{7} + \frac{7}{7} \)

\( x = \frac{48}{7} \)

Так как \( x = \frac{48}{7} \) (примерно 6.86) не лежит на отрезке AP (где \( x \) от 0 до 7) и на отрезке CF (где \( x \) от -2 до 5), то эти отрезки не пересекаются внутри ломаных. Необходимо проверить другие пары отрезков.

3. Пересечение отрезка NA с отрезком CF:

\( y = -\frac{3}{4}x - 1 \)

\( y = -\frac{4}{7}x + \frac{41}{7} \)

\( -\frac{3}{4}x - 1 = -\frac{4}{7}x + \frac{41}{7} \)

\( \frac{4}{7}x - \frac{3}{4}x = \frac{41}{7} + 1 \)

\( \frac{16 - 21}{28}x = \frac{41 + 7}{7} \)

\( -\frac{5}{28}x = \frac{48}{7} \)

\( x = -\frac{48}{7} \times \frac{28}{5} = -\frac{48 \times 4}{5} = -\frac{192}{5} = -38.4 \)

Эта точка не лежит ни на одном из отрезков.

4. Пересечение отрезка MN с отрезком BC:

Уравнение прямой MN: M(-10; -3), N(-8; 5)

\( y - (-3) = \frac{5 - (-3)}{-8 - (-10)}(x - (-10)) \)

\( y + 3 = \frac{8}{2}(x + 10) \)

\( y + 3 = 4(x + 10) \)

\( y + 3 = 4x + 40 \)

\( y = 4x + 37 \)

Уравнение прямой BC: \( y = \frac{5}{2}x + 12 \)

\( 4x + 37 = \frac{5}{2}x + 12 \)

\( 4x - \frac{5}{2}x = 12 - 37 \)

\( \frac{8-5}{2}x = -25 \)

\( \frac{3}{2}x = -25 \)

\( x = -25 \times \frac{2}{3} = -\frac{50}{3} \) (примерно -16.67)

Эта точка не лежит на отрезках.

5. Пересечение отрезка MN с отрезком CF:

\( y = 4x + 37 \)

\( y = -\frac{4}{7}x + \frac{41}{7} \)

\( 4x + 37 = -\frac{4}{7}x + \frac{41}{7} \)

\( 4x + \frac{4}{7}x = \frac{41}{7} - 37 \)

\( \frac{28+4}{7}x = \frac{41 - 259}{7} \)

\( \frac{32}{7}x = -\frac{218}{7} \)

\( x = -\frac{218}{32} = -\frac{109}{16} \) (примерно -6.81)

Эта точка не лежит на отрезках.

6. Пересечение отрезка AP с отрезком BC:

\( y = \frac{3}{7}x - 1 \)

\( y = \frac{5}{2}x + 12 \)

\( \frac{3}{7}x - 1 = \frac{5}{2}x + 12 \)

\( \frac{3}{7}x - \frac{5}{2}x = 12 + 1 \)

\( \frac{6 - 35}{14}x = 13 \)

\( -\frac{29}{14}x = 13 \)

\( x = -13 \times \frac{14}{29} = -\frac{182}{29} \) (примерно -6.28)

Эта точка не лежит на отрезках.

Проверяем пересечение отрезка NA и отрезка CF:

\( y = -\frac{3}{4}x - 1 \)

\( y = -\frac{4}{7}x + \frac{41}{7} \)

\( -\frac{3}{4}x - 1 = -\frac{4}{7}x + \frac{41}{7} \)

\( \frac{4}{7}x - \frac{3}{4}x = \frac{41}{7} + 1 \)

\( \frac{16-21}{28}x = \frac{48}{7} \)

\( -\frac{5}{28}x = \frac{48}{7} \)

\( x = -\frac{48}{7} \times \frac{28}{5} = -\frac{192}{5} = -38.4 \)

Эта точка не лежит на отрезках.

Проверяем пересечение отрезка MN и отрезка CF:

\( y = 4x+37 \)

\( y = -\frac{4}{7}x + \frac{41}{7} \)

\( 4x+37 = -\frac{4}{7}x + \frac{41}{7} \)

\( 4x+\frac{4}{7}x = \frac{41}{7} - 37 \)

\( \frac{32}{7}x = \frac{41-259}{7} \)

\( x = -\frac{218}{32} = -\frac{109}{16} \) (примерно -6.81)

Эта точка не лежит на отрезках.

Единственная точка пересечения, найденная в пределах отрезков, это P1(-4, 2).

Ответ: Точка пересечения ломаных: (-4; 2).