21. (3 балла). Основание прямого параллелепипеда - ромб, площадь которого 1 м². Площади диагональных сечений 3 м² и 6 м² Найдите объем параллелепипеда.

Решение:

Обозначим:

• \( S_{ромба} \) — площадь ромба, \( S_{ромба} = 1 \) м².
• \( d_1, d_2 \) — диагонали ромба.
• \( h \) — высота параллелепипеда.
• \( V \) — объем параллелепипеда.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

\[ S_{ромба} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \]

Площади диагональных сечений параллелепипеда — это прямоугольники, сторонами которых являются диагонали ромба и высота параллелепипеда. Их площади равны:

• \( S_1 = d_1 h = 3 \) м²
• \( S_2 = d_2 h = 6 \) м²

Из этих двух уравнений найдем \( d_1 \) и \( d_2 \) через \( h \):

• \( d_1 = \frac{3}{h} \)
• \( d_2 = \frac{6}{h} \)

Подставим эти выражения в формулу площади ромба:

\( 1 = \frac{1}{2} \left(\frac{3}{h}\right) \left(\frac{6}{h}\right) \)
\( 1 = \frac{1}{2} \frac{18}{h^2} \)
\( 1 = \frac{9}{h^2} \)
\( h^2 = 9 \)
\( h = 3 \) м (высота не может быть отрицательной).

Теперь, зная высоту, найдем диагонали:

• \( d_1 = \frac{3}{3} = 1 \) м
• \( d_2 = \frac{6}{3} = 2 \) м

Проверим площадь ромба: \( S_{ромба} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1 \) м², что соответствует условию.

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:

\[ V = S_{ромба} \times h \]\[ V = 1 \text{ м}^2 \times 3 \text{ м} \]\[ V = 3 \text{ м}^3 \]

Ответ: 3 м³.