20. Вычислить предел: lim (x^3-9)/(n→∞ 3x+1)

Решение:

Дан предел вида \( \lim_{n \to \infty} \frac{x^3 - 9}{3x + 1} \).

Так как \( n \to \infty \), то \( x \to \infty \) (при условии, что \( x \) зависит от \( n \) и стремится к бесконечности вместе с \( n \)).

Для вычисления предела разделим числитель и знаменатель на наивысшую степень \( x \) в знаменателе, то есть на \( x \):

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^3}{x} - \frac{9}{x}}{\frac{3x}{x} + \frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - \frac{9}{x}}{3 + \frac{1}{x}} \]

Когда \( x \to \infty \):

• \( \frac{9}{x} \to 0 \)
• \( \frac{1}{x} \to 0 \)
• \( x^2 \to \infty \)

Следовательно, предел равен:

\[ \frac{\infty - 0}{3 + 0} = \frac{\infty}{3} = \infty \]

Ответ: \( \infty \).