19. В каких точках функция f(x)=x³-3х имеет минимум?

Решение:

1. Найдём производную функции: \( f'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 - 3 = 0 \) \( \Rightarrow 3x^2 = 3 \) \( \Rightarrow x^2 = 1 \) \( \Rightarrow x = \pm 1 \).
3. Найдём вторую производную: \( f''(x) = (3x^2 - 3)' = 6x \).
4. Определим точки минимума и максимума с помощью второй производной:
   • При \( x = 1 \): \( f''(1) = 6 \cdot 1 = 6 \). Так как \( f''(1) > 0 \), то в точке \( x = 1 \) функция имеет минимум.
   • При \( x = -1 \): \( f''(-1) = 6 \cdot (-1) = -6 \). Так как \( f''(-1) < 0 \), то в точке \( x = -1 \) функция имеет максимум.

Ответ: функция имеет минимум в точке \( x = 1 \).