20. Решите неравенство $$\frac{1}{x} \ge \frac{1}{x-5}$$.

Задание 20. Решение неравенства

Нужно решить неравенство:

$$ \frac{1}{x} \ge \frac{1}{x-5} $$

Решение:

1. Перенесем все члены неравенства в одну сторону, чтобы сравнить с нулем:

$$ \frac{1}{x} - \frac{1}{x-5} \ge 0 $$

2. Приведем дроби к общему знаменателю \( x(x-5) \):

$$ \frac{x-5}{x(x-5)} - \frac{x}{x(x-5)} \ge 0 $$

3. Выполним вычитание числителей:

$$ \frac{(x-5) - x}{x(x-5)} \ge 0 $$

$$ \frac{-5}{x(x-5)} \ge 0 $$

4. Чтобы дробь была неотрицательной (больше или равна нулю), числитель и знаменатель должны иметь одинаковый знак. Так как числитель (-5) отрицательный, то знаменатель \( x(x-5) \) должен быть отрицательным.

$$ x(x-5) < 0 $$

5. Решим квадратное неравенство \( x(x-5) < 0 \). Корни уравнения \( x(x-5) = 0 \) равны \( x=0 \) и \( x=5 \).
6. Парабола \( y = x(x-5) \) ветвями вверх, поэтому отрицательные значения она принимает между корнями.
7. Таким образом, \( 0 < x < 5 \).

Ответ: (0; 5)