20) (3 балла) Найти интервалы возрастания и убывания функции y = x^4 - 32x^2 - 75

Решение:

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, нужно исследовать знак её производной.

1. Найдём производную функции:

Функция: \( y = x^4 - 32x^2 - 75 \).

Производная \( y' \) находится по правилу дифференцирования степенной функции \( (x^n)' = nx^{n-1} \) и суммы/разности функций.

\[ y' = (x^4)' - (32x^2)' - (75)' \]\[ y' = 4x^3 - 32(2x) - 0 \]\[ y' = 4x^3 - 64x \]

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 4x^3 - 64x = 0 \]

Вынесем общий множитель \( 4x \) за скобки:

\[ 4x(x^2 - 16) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

\( 4x = 0 \) \( \implies \) \( x = 0 \)

или

\( x^2 - 16 = 0 \) \( \implies \) \( x^2 = 16 \) \( \implies \) \( x = \pm 4 \)

Критические точки: \( x = -4, x = 0, x = 4 \).

3. Исследуем знак производной на интервалах, образованных критическими точками:

Интервалы: \( (-\infty; -4) \), \( (-4; 0) \), \( (0; 4) \), \( (4; +\infty) \).

Выберем тестовые значения из каждого интервала:

• Интервал \( (-\infty; -4) \): Возьмём \( x = -5 \). \( y'(-5) = 4(-5)^3 - 64(-5) = 4(-125) + 320 = -500 + 320 = -180 \) ( \( - \) ). Функция убывает.
• Интервал \( (-4; 0) \): Возьмём \( x = -1 \). \( y'(-1) = 4(-1)^3 - 64(-1) = 4(-1) + 64 = -4 + 64 = 60 \) ( \( + \) ). Функция возрастает.
• Интервал \( (0; 4) \): Возьмём \( x = 1 \). \( y'(1) = 4(1)^3 - 64(1) = 4 - 64 = -60 \) ( \( - \) ). Функция убывает.
• Интервал \( (4; +\infty) \): Возьмём \( x = 5 \). \( y'(5) = 4(5)^3 - 64(5) = 4(125) - 320 = 500 - 320 = 180 \) ( \( + \) ). Функция возрастает.

4. Запишем интервалы возрастания и убывания:

Функция возрастает на интервалах, где \( y' > 0 \).

Функция убывает на интервалах, где \( y' < 0 \).

Возрастание: \( (-4; 0) \) и \( (4; +\infty) \).

Убывание: \( (-\infty; -4) \) и \( (0; 4) \).

Ответ: Функция возрастает на интервалах \( (-4; 0) \) и \( (4; +\infty) \). Функция убывает на интервалах \( (-\infty; -4) \) и \( (0; 4) \).