19) (3 балла) Решите неравенство log_7 (4x+1) ≥ -2.

Решение:

Дано неравенство: \( \log_7 (4x+1) \ge -2 \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ):

Выражение под логарифмом должно быть положительным:

\[ 4x+1 > 0 \]\[ 4x > -1 \]\[ x > -\frac{1}{4} \]

2. Решение неравенства:

Основание логарифма (7) больше 1, поэтому при потенцировании знак неравенства сохраняется.

Перепишем -2 в виде логарифма по основанию 7:

\[ -2 = \log_7 (7^{-2}) = \log_7 (\frac{1}{49}) \]

Теперь неравенство выглядит так:

\[ \log_7 (4x+1) \ge \log_7 (\frac{1}{49}) \]

Убираем логарифмы:

\[ 4x+1 \ge \frac{1}{49} \]

Решаем полученное линейное неравенство:

\[ 4x \ge \frac{1}{49} - 1 \]\[ 4x \ge \frac{1}{49} - \frac{49}{49} \]\[ 4x \ge -\frac{48}{49} \]\[ x \ge -\frac{48}{49 \cdot 4} \]\[ x \ge -\frac{12}{49} \]

3. Учет ОДЗ:

Мы получили, что \( x \ge -\frac{12}{49} \) и \( x > -\frac{1}{4} \).

Сравним \( -\frac{12}{49} \) и \( -\frac{1}{4} \).

\( -\frac{1}{4} = -0.25 \).

\( -\frac{12}{49} \approx -0.245 \).

Значит, \( -\frac{12}{49} > -\frac{1}{4} \).

Поэтому условие \( x \ge -\frac{12}{49} \) уже включает в себя \( x > -\frac{1}{4} \).

Ответ: \( x \ge -\frac{12}{49} \) или \( [-\frac{12}{49}; +\infty) \).