2. ВСКМ – прямоугольник, В(-4; 1); M(3; 1); К(3; 7). Построить данный прямоугольник. А) Каковы координаты точки С?; б) Провести диагонали прямоугольника СМ и ВК, точку их пересечения обозначить А. Какие координаты имеет точка А?

Решение:

А) Координаты точки С:

Для прямоугольника ВСКМ, где В(-4; 1) и M(3; 1), стороны ВМ и СК параллельны оси абсцисс (так как их ординаты равны). Следовательно, стороны ВС и МК параллельны оси ординат.

Так как ВМ параллельна оси абсцисс, то ордината точки С будет равна ординате точки В, а абсцисса точки С будет равна абсциссе точки К. Или, поскольку СК параллельна оси абсцисс, то абсцисса точки С будет равна абсциссе точки В, а ордината точки С будет равна ординате точки К.

Рассмотрим вектор $$\vec{BM} = (3 - (-4); 1 - 1) = (7; 0)$$.

В прямоугольнике $$\vec{BC} = \vec{MK}$$.

Координаты М(3; 1), К(3; 7).

Тогда $$\vec{MK} = (3 - 3; 7 - 1) = (0; 6)$$.

Пусть С(x; y).

$$\vec{BC} = (x - (-4); y - 1) = (x + 4; y - 1)$$.

Приравниваем векторы: $$(x + 4; y - 1) = (0; 6)$$.

Отсюда: $$x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$$ и $$y - 1 = 6 \Rightarrow y = 7$$.

Таким образом, координаты точки С — (-4; 7).

б) Координаты точки пересечения диагоналей А:

Точка пересечения диагоналей прямоугольника является серединой каждой диагонали.

Найдем середину диагонали ВК. Координаты В(-4; 1), К(3; 7).

Абсцисса середины: $$x_A = \frac{-4 + 3}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5$$.

Ордината середины: $$y_A = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$$.

Координаты точки А — (-0.5; 4).

Ответ: А) Координаты точки С: (-4; 7). б) Координаты точки А: (-0.5; 4).