2. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:7:8. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 20.

Задание 2

Дано:

• Отношение дуг: 3:7:8.
• Меньшая сторона треугольника \( a = 20 \).

Найти: Радиус окружности \( R \).

Решение:

1. Отношение длин дуг, на которые вершины треугольника делят описанную окружность, равно отношению центральных углов, опирающихся на эти дуги.
2. Пусть части дуг равны \( 3x, 7x, 8x \). Сумма всех дуг равна \( 360^° \).
3. \( 3x + 7x + 8x = 360^° \)
4. \( 18x = 360^° \)
5. \( x = 20^° \).
6. Центральные углы, соответствующие сторонам треугольника, равны:
• \( α = 3x = 3 × 20^° = 60^° \).
• \( β = 7x = 7 × 20^° = 140^° \).
• \( γ = 8x = 8 × 20^° = 160^° \).
7. Меньшая сторона треугольника соответствует наименьшему центральному углу. Угол \( α = 60^° \) соответствует стороне \( a = 20 \).
8. Воспользуемся теоремой синусов: \( \frac{a}{in α} = 2R \).
9. Подставим значения: \[ \frac{20}{in 60^°} = 2R \]
10. \( in 60^° = \frac{√{3}}{2} \).
11. \( \frac{20}{\frac{√{3}}{2}} = 2R \)
12. \( \frac{40}{√{3}} = 2R \)
13. \( R = \frac{20}{√{3}} = \frac{20√{3}}{3} \).

Ответ: \(\frac{20√{3}}{3}\)