2. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в т. O. Найдите периметр треугольника AOB, если AC = 12 см, ∠CAD = 30°.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(AO=BO=\frac{AC}{2}=6\) см.

Диагональ \(AC\) образует с боковой стороной \(AD\) угол \(30^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(ADC\):

\[AD=AC\cos30^\circ=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3\text{ см}.\]

Так как \(AB\parallel DC\), угол между диагональю \(AC\) и стороной \(AB\) равен \(60^\circ\). В треугольнике \(AOB\) углы при \(A\) и \(B\) равны \(60^\circ\), следовательно, треугольник равносторонний и \(AB=AO=BO=6\) см.

\[P_{AOB}=6+6+6=18\text{ см}.\]

Ответ: 18 см.