2. В окружность с центром О, вписан ΔABC так, что ∠AOC = 100°, U AB:U BC = 2:3. Найдите величину дуги АВ.

Задание 2. Центральный и дуги

Дано:

• Окружность с центром O.
• Вписанный \( \Delta ABC \).
• \( \angle AOC = 100^\circ \).
• Отношение дуг \( \overset{\frown}{AB} : \overset{\frown}{BC} = 2:3 \).

Найти: величину дуги \( \overset{\frown}{AB} \).

Решение:

1. Угол \( \angle AOC \) — центральный, опирается на дугу AC. Следовательно, \( \overset{\frown}{AC} = 100^\circ \).
2. Полная окружность равна 360°.
3. Сумма всех дуг \( \overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{AC} = 360^\circ \).
4. Подставим значение \( \overset{\frown}{AC} \): \( \overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{BC} + 100^\circ = 360^\circ \).
5. \( \overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{BC} = 260^\circ \).
6. Пусть \( \overset{\frown}{AB} = 2x \) и \( \overset{\frown}{BC} = 3x \) согласно условию.
7. Составим уравнение: \( 2x + 3x = 260^\circ \).
8. \( 5x = 260^\circ \).
9. \( x = \frac{260^\circ}{5} = 52^\circ \).
10. Найдём дугу AB: \( \overset{\frown}{AB} = 2x = 2 × 52^\circ = 104^\circ \).

Ответ: 104°.