2. В одной системе координат постройте графики данных функций и найдите координаты точек пересечения этих графиков: а) \(y = \frac{2}{x}\) и \(y = x - 1\); б) \(y = -\frac{4}{x}\) и \(y = 3 - x\).

Решение:

1. а) Графики \(y = \frac{2}{x}\) и \(y = x - 1\):
   • График \(y = \frac{2}{x}\): Гипербола с ветвями в I и III четвертях (так как \(k=2>0\)).
   • График \(y = x - 1\): Прямая, пересекающая ось y в точке (0, -1) и ось x в точке (1, 0).
   • Нахождение точек пересечения: Приравняем уравнения:

   \(\frac{2}{x} = x - 1\)

   \(2 = x(x - 1)\)

   \(2 = x^2 - x\)

   \(x^2 - x - 2 = 0\)

   Решим квадратное уравнение (через дискриминант или по теореме Виета):

   \(D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9\)

   \(x_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 - 3}{2} = -1\)

   \(x_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 + 3}{2} = 2\)

   Найдем соответствующие значения \(y\):

   При \(x_1 = -1\): \(y = -1 - 1 = -2\). Точка (-1, -2).

   При \(x_2 = 2\): \(y = 2 - 1 = 1\). Точка (2, 1).

2. б) Графики \(y = -\frac{4}{x}\) и \(y = 3 - x\):
   • График \(y = -\frac{4}{x}\): Гипербола с ветвями во II и IV четвертях (так как \(k=-4<0\)).
   • График \(y = 3 - x\): Прямая, пересекающая ось y в точке (0, 3) и ось x в точке (3, 0).
   • Нахождение точек пересечения: Приравняем уравнения:

   \(-\frac{4}{x} = 3 - x\)

   \(-4 = x(3 - x)\)

   \(-4 = 3x - x^2\)

   \(x^2 - 3x - 4 = 0\)

   Решим квадратное уравнение:

   \(D = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25\)

   \(x_1 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{3 - 5}{2} = -1\)

   \(x_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{3 + 5}{2} = 4\)

   Найдем соответствующие значения \(y\):

   При \(x_1 = -1\): \(y = 3 - (-1) = 4\). Точка (-1, 4).

   При \(x_2 = 4\): \(y = 3 - 4 = -1\). Точка (4, -1).

Ответ: а) Точки пересечения: (-1, -2) и (2, 1). б) Точки пересечения: (-1, 4) и (4, -1).