2. Теорема о площади прямоугольника (с доказательством).

Теорема о площади прямоугольника

Формулировка: Площадь прямоугольника равна произведению двух смежных сторон.

Доказательство:

Пусть дан прямоугольник ABCD со сторонами AB = a и BC = b. Необходимо найти его площадь S.

1. Представим, что одна из сторон, например, сторона, равная 1 (единичный отрезок), является единицей измерения длины.
2. Площадь квадрата со стороной, равной 1, принимается за единицу площади.
3. Если стороны прямоугольника выражаются целыми числами, например, a = 3 и b = 2, то прямоугольник можно разбить на a \(\times\) b = 3 \(\times\) 2 = 6 единичных квадратов. В этом случае площадь прямоугольника S = ab.
4. Если стороны прямоугольника выражаются дробными числами, например, a = \( \frac{3}{2} \) и b = \( \frac{4}{3} \), то можно разбить его на единичные квадраты. Например, разделим сторону a на 2 равных отрезка, а сторону b на 3 равных отрезка. Получим \( 2 \times 3 = 6 \) равных прямоугольников. Каждая такая часть равна \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \) единичного квадрата. Всего таких прямоугольников \( 3 \times 4 = 12 \). Площадь прямоугольника тогда составит \( 12 \times \frac{1}{6} = 2 \). Это также равно произведению сторон: \( \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{12}{6} = 2 \).
5. В общем случае, площадь прямоугольника со сторонами a и b равна произведению a \(\times\) b.

Вывод: S = ab.