2. Решить систему { x+y+z=4, x+2y+3z=7, x+y+5z=8 } по формулам Крамера

Решение:

Решим систему уравнений по формулам Крамера:

\[ \begin{cases} x + y + z = 4 \\ x + 2y + 3z = 7 \\ x + y + 5z = 8 \end{cases} \]

1. Найдём главный определитель системы (Δ):

\[ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 5 \end{vmatrix} = 1(2 \cdot 5 - 3 \cdot 1) - 1(1 \cdot 5 - 3 \cdot 1) + 1(1 \cdot 1 - 2 \cdot 1) \\ = 1(10 - 3) - 1(5 - 3) + 1(1 - 2) = 7 - 2 - 1 = 4 \]

2. Найдём определитель для \( x \) (Δ_x):

\[ \Delta_x = \begin{vmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 7 & 2 & 3 \\ 8 & 1 & 5 \end{vmatrix} = 4(2 \cdot 5 - 3 \cdot 1) - 1(7 \cdot 5 - 3 \cdot 8) + 1(7 \cdot 1 - 2 \cdot 8) \\ = 4(10 - 3) - 1(35 - 24) + 1(7 - 16) = 4(7) - 1(11) + 1(-9) = 28 - 11 - 9 = 8 \]

3. Найдём определитель для \( y \) (Δ_y):

\[ \Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 1 & 7 & 3 \\ 1 & 8 & 5 \end{vmatrix} = 1(7 \cdot 5 - 3 \cdot 8) - 4(1 \cdot 5 - 3 \cdot 1) + 1(1 \cdot 8 - 7 \cdot 1) \\ = 1(35 - 24) - 4(5 - 3) + 1(8 - 7) = 1(11) - 4(2) + 1(1) = 11 - 8 + 1 = 4 \]

4. Найдём определитель для \( z \) (Δ_z):

\[ \Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 7 \\ 1 & 1 & 8 \end{vmatrix} = 1(2 \cdot 8 - 7 \cdot 1) - 1(1 \cdot 8 - 7 \cdot 1) + 4(1 \cdot 1 - 2 \cdot 1) \\ = 1(16 - 7) - 1(8 - 7) + 4(1 - 2) = 1(9) - 1(1) + 4(-1) = 9 - 1 - 4 = 4 \]

5. Найдём значения \( x, y, z \):

\[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{8}{4} = 2 \]\[ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{4}{4} = 1 \]\[ z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{4}{4} = 1 \]

Ответ: \( x=2, y=1, z=1 \).