2. Решить неравенство: 2sin \(2x-\frac{\pi}{4}\) >1

Решение:

1. Разделим обе части неравенства на 2: \[ \sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) > \frac{1}{2} \]
2. Найдём значения аргумента, для которых синус больше \(\frac{1}{2}\). Это соответствует интервалу \( \frac{\pi}{6} < X < \frac{5\pi}{6} \), где \( X = 2x - \frac{\pi}{4} \).
3. Теперь запишем неравенство с учётом периодичности синуса: \[ \frac{\pi}{6} + 2\pi k < 2x - \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \]
4. Прибавим \(\frac{\pi}{4}\) ко всем частям неравенства: \[ \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k < 2x < \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k \]
5. Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{2\pi + 3\pi}{12} + 2\pi k < 2x < \frac{10\pi + 3\pi}{12} + 2\pi k \] \[ \frac{5\pi}{12} + 2\pi k < 2x < \frac{13\pi}{12} + 2\pi k \]
6. Разделим все части неравенства на 2: \[ \frac{5\pi}{24} + \pi k < x < \frac{13\pi}{24} + \pi k \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x \in \left( \frac{5\pi}{24} + \pi k, \frac{13\pi}{24} + \pi k \right), \quad k \in \mathbb{Z} \).