2. При каких целых значениях n дробь \( \frac{n+2}{3n-1} \) является натуральным числом? а) -5; б) 7; в) 9; г) 5

Проверим предложенные варианты:

• При \( n = -5 \): \( \frac{-5+2}{3(-5)-1} = \frac{-3}{-16} = \frac{3}{16} \) — не натуральное число.
• При \( n = 7 \): \( \frac{7+2}{3(7)-1} = \frac{9}{20} \) — не натуральное число.
• При \( n = 9 \): \( \frac{9+2}{3(9)-1} = \frac{11}{26} \) — не натуральное число.
• При \( n = 5 \): \( \frac{5+2}{3(5)-1} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \) — не натуральное число.

Попробуем найти такое \( n \), при котором дробь будет натуральным числом. Обозначим \( k = \frac{n+2}{3n-1} \), где \( k \in \mathbb{N} \).

\( k(3n-1) = n+2 \)

\( 3kn - k = n + 2 \)

\( 3kn - n = k + 2 \)

\( n(3k - 1) = k + 2 \)

\( n = \frac{k+2}{3k-1} \)

При \( k = 1 \): \( n = \frac{1+2}{3(1)-1} = \frac{3}{2} \) — не целое.

При \( k = 2 \): \( n = \frac{2+2}{3(2)-1} = \frac{4}{5} \) — не целое.

При \( k = 3 \): \( n = \frac{3+2}{3(3)-1} = \frac{5}{8} \) — не целое.

При \( k = 0 \), \( n = \frac{2}{-1} = -2 \). Проверим: \( \frac{-2+2}{3(-2)-1} = \frac{0}{-7} = 0 \) — не натуральное.

Из анализа выражения \( n = \frac{k+2}{3k-1} \), видно, что для \( k > 0 \), значение \( n \) будет стремиться к \( \frac{1}{3} \). Следовательно, при \( k > 0 \) целых \( n \) не будет.

Рассмотрим случай, когда \( 3n-1 \) является делителем \( n+2 \). Умножим \( n+2 \) на 3: \( 3(n+2) = 3n+6 \). Тогда \( 3n+6 = (3n-1) + 7 \).

Таким образом, \( \frac{3n+6}{3n-1} = 1 + \frac{7}{3n-1} \). Для того, чтобы \( \frac{n+2}{3n-1} \) было натуральным числом, \( \frac{1}{3} \) (или \( \frac{3n+6}{3n-1} \) ) должно быть таким, чтобы \( \frac{n+2}{3n-1} \) было натуральным.

Если \( \frac{n+2}{3n-1} = k \), то \( 3n-1 \) должно быть делителем \( n+2 \).

Тогда \( 3n-1 \) должно быть делителем \( 3(n+2) = 3n+6 \).

\( 3n+6 = (3n-1) + 7 \).

Значит, \( 3n-1 \) должно быть делителем 7. Делители 7: \( \pm 1, \pm 7 \).

1. \( 3n-1 = 1 → 3n = 2 → n = 2/3 \) (не целое).

2. \( 3n-1 = -1 → 3n = 0 → n = 0 \). \( \frac{0+2}{3(0)-1} = \frac{2}{-1} = -2 \) (не натуральное).

3. \( 3n-1 = 7 → 3n = 8 → n = 8/3 \) (не целое).

4. \( 3n-1 = -7 → 3n = -6 → n = -2 \). \( \frac{-2+2}{3(-2)-1} = \frac{0}{-7} = 0 \) (не натуральное).

Нет целых значений \( n \), при которых дробь является натуральным числом.

Ответ: Невозможно определить из предложенных вариантов.