2. При каких целых значениях n дробь \( \frac{4n+10}{n+3} \) является натуральным числом?

Решение:

1. Преобразуем дробь: \( \frac{4n+10}{n+3} = \frac{4(n+3) - 12 + 10}{n+3} = 4 - \frac{2}{n+3} \).
2. Для того чтобы дробь была натуральным числом, \( 4 - \frac{2}{n+3} \) должно быть натуральным числом.
3. Это возможно, если \( n+3 \) является делителем числа 2, и \( \frac{2}{n+3} \) меньше 4.
4. Делители числа 2: \( 1, -1, 2, -2 \).
5. Рассмотрим случаи:
• \( n+3=1 \) \(\Rightarrow\) \( n=-2 \). Тогда \( 4 - \frac{2}{1} = 2 \) (натуральное число).
• \( n+3=-1 \) \(\Rightarrow\) \( n=-4 \). Тогда \( 4 - \frac{2}{-1} = 4 + 2 = 6 \) (натуральное число).
• \( n+3=2 \) \(\Rightarrow\) \( n=-1 \). Тогда \( 4 - \frac{2}{2} = 4 - 1 = 3 \) (натуральное число).
• \( n+3=-2 \) \(\Rightarrow\) \( n=-5 \). Тогда \( 4 - \frac{2}{-2} = 4 + 1 = 5 \) (натуральное число).

Ответ: -5, -4, -2, -1.