2. Найти вероятность события: A ∩ B, A ∪ B, A ̄ ∩ B, A ∩ B̄, A ∪ B̄

Решение:

Сначала определим количество элементов в каждом множестве и их пересечении/объединении по диаграмме Венна:

• A: 7 элементов (4 внутри только A, 3 в пересечении)
• B: 6 элементов (3 внутри только B, 3 в пересечении)
• A ∩ B (пересечение A и B): 3 элемента
• A ∪ B (объединение A и B): 4 (только A) + 3 (пересечение) + 3 (только B) = 10 элементов
• Общее количество элементов (универсальное множество): 12 (10 в A ∪ B + 2 вне A и B)

Теперь рассчитаем вероятности:

1. P(A ∩ B): Количество элементов в A ∩ B / Общее количество элементов = 3 / 12 = 1/4.
2. P(A ∪ B): Количество элементов в A ∪ B / Общее количество элементов = 10 / 12 = 5/6.
3. Ā (дополнение A): Элементы, не входящие в A. Это элементы, которые находятся только в B (3) + элементы вне A и B (2) = 5.
4. P(Ā ∩ B): Это элементы, которые входят в Ā и B. Эти элементы находятся только в B (3). Вероятность = 3 / 12 = 1/4.
5. B̄ (дополнение B): Элементы, не входящие в B. Это элементы, которые находятся только в A (4) + элементы вне A и B (2) = 6.
6. P(A ∩ B̄): Это элементы, которые входят в A и B̄. Эти элементы находятся только в A (4). Вероятность = 4 / 12 = 1/3.
7. P(A ∪ B̄): Элементы, входящие в A или не входящие в B. Это элементы только в A (4) + элементы в пересечении A и B (3) + элементы вне A и B (2) = 9. Вероятность = 9 / 12 = 3/4.

Ответ:

• P(A ∩ B) = 1/4
• P(A ∪ B) = 5/6
• P(Ā ∩ B) = 1/4
• P(A ∩ B̄) = 1/3
• P(A ∪ B̄) = 3/4