2. \(\frac{\cos 3x - 1}{\sin 6x - 2\sin 3x}\)

Решение:

Используем формулы косинуса половинного угла \((\cos \alpha = 1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}))\) и синуса двойного угла \((\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha))\).

1. Преобразуем числитель: \(\cos 3x - 1 = -(1 - \cos 3x) = -2\sin^2(\frac{3x}{2})\)
2. Преобразуем знаменатель: \(\sin 6x - 2\sin 3x = 2\sin 3x \cos 3x - 2\sin 3x = 2\sin 3x(\cos 3x - 1)\)
3. Подставим в исходное выражение: \(\frac{-2\sin^2(\frac{3x}{2})}{2\sin 3x(\cos 3x - 1)}\)
4. Заменим \(\sin 3x = 2\sin(\frac{3x}{2})\cos(\frac{3x}{2})\) и \(\cos 3x - 1 = -2\sin^2(\frac{3x}{2})\):
5. \(\frac{-2\sin^2(\frac{3x}{2})}{2 \cdot 2\sin(\frac{3x}{2})\cos(\frac{3x}{2}) \cdot (-2\sin^2(\frac{3x}{2}))}\)
6. \(\frac{-2\sin^2(\frac{3x}{2})}{-8\sin^3(\frac{3x}{2})\cos(\frac{3x}{2})} = \frac{1}{4\sin(\frac{3x}{2})\cos(\frac{3x}{2})}\)
7. Используем формулу синуса двойного угла: \(4\sin(\frac{3x}{2})\cos(\frac{3x}{2}) = 2 \cdot (2\sin(\frac{3x}{2})\cos(\frac{3x}{2})) = 2\sin(3x)\)
8. Таким образом, выражение равно \(\frac{1}{2\sin 3x}\)

Ответ: \(\frac{1}{2\sin 3x}\)