2. (4 балла). Катер проплывает 20 км против течения и ещё 30 км по течению за то же время, за которое плот проплывает 15 км по этой реке. Водная скорость катера равна 15 км/ч. Найдите скорость течения.

Решение:

Пусть \( x \) км/ч — скорость течения реки. Тогда:

• Скорость катера против течения: \( (15 - x) \) км/ч.
• Скорость катера по течению: \( (15 + x) \) км/ч.
• Скорость плота (равна скорости течения): \( x \) км/ч.

Время, затраченное катером на путь против течения:

\( t_1 = \frac{20}{15-x} \) ч.

Время, затраченное катером на путь по течению:

\( t_2 = \frac{30}{15+x} \) ч.

Время, затраченное плотом на путь:

\( t_3 = \frac{15}{x} \) ч.

По условию, \( t_1 + t_2 = t_3 \).

\( \frac{20}{15-x} + \frac{30}{15+x} = \frac{15}{x} \)

Приведем к общему знаменателю \( x(15-x)(15+x) = x(225-x^2) \):

\( 20x(15+x) + 30x(15-x) = 15(225-x^2) \)
\( 300x + 20x^2 + 450x - 30x^2 = 3375 - 15x^2 \)
\( 750x - 10x^2 = 3375 - 15x^2 \)
\( 5x^2 + 750x - 3375 = 0 \)
\( x^2 + 150x - 675 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( D = 150^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-675) = 22500 + 2700 = 25200 \)
\( \sqrt{D} = \sqrt{25200} = \sqrt{3600 \cdot 7} = 60\sqrt{7} \)
\( x_1 = \frac{-150 + 60\sqrt{7}}{2} = -75 + 30\sqrt{7} \) — отрицательное значение, не подходит.
\( x_2 = \frac{-150 - 60\sqrt{7}}{2} = -75 - 30\sqrt{7} \) — отрицательное значение, не подходит.

Поскольку корни получились иррациональными и отрицательными, что невозможно для скорости течения, проверим условие задачи.

Примечание: При внимательном перечитывании условия задачи (видимо, был использован перевод или оригинал имел другой вид) вторая часть условия «Катер проплывает 20 км против течения и ещё 30 км по течению за то же время, за которое плот проплывает 15 км по этой реке» и первая часть «Лодка может проплыть 15 км по течению реки и ещё 6 км против течения за то же время, за какое плот может проплыть 5 км по этой реке» могут относиться к разным задачам или содержать опечатку.

Поскольку задача не имеет адекватного решения при данных условиях, ответ не предоставляется.