2. (№16) Отрезок АВ=72 касается окружности радиуса 54 с центром О в точке В. Окружность пересекает отрезок АО в точке D. Найдите AD.

Решение:

Отрезок АВ касается окружности с центром О в точке В. Это означает, что АВ является касательной к окружности. По теореме о касательной и радиусе, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \( \angle ABO = 90° \).

В задаче указано, что центр окружности находится в точке В, а радиус равен 54. Это означает, что отрезок OB является радиусом, если бы точка А была вне окружности и отрезок АВ касался бы её. Однако, формулировка «Отрезок АВ=72 касается окружности радиуса 54 с центром О в точке В» несколько противоречива. Если центр окружности в точке В, то радиус — это отрезок от В до любой точки на окружности.

Предположим, что точка А находится вне окружности, а отрезок АВ является касательной к окружности в точке, которую мы назовём Т. Тогда \( BT = 54 \) (радиус) и \( \angle ATB = 90° \).

Однако, в условии задачи указано, что окружность пересекает отрезок АО в точке D. И что центр окружности находится в точке В. Это также противоречиво. Если центр в точке В, то \( BO = 0 \) (если точка В совпадает с центром) или \( BO \) — это расстояние до центра. Если \( BO \) — это расстояние до центра, то \( BO \) не может быть равным 0.

Давайте предположим, что в условии опечатка и имеется в виду, что окружность имеет центр в точке O, а отрезок AB касается окружности в точке B. Тогда OB = 54 (радиус). AО = AB + BO, если O лежит на продолжении AB. Но тогда окружность не пересекает АО в точке D, если D лежит на АО. И АВ не может касаться окружности в точке В, если центр окружности О. Касательная проводится в точке на окружности.

Вариант трактовки 1: Центр окружности — O. Радиус — OB = 54. AB — касательная к окружности в точке B, AB = 72. Треугольник ABO — прямоугольный (\( \angle ABO = 90° \)). Гипотенуза AO = \( \sqrt{AB^2 + OB^2} = \sqrt{72^2 + 54^2} = \sqrt{5184 + 2916} = \sqrt{8100} = 90 \). Окружность с центром O пересекает отрезок AO в точке D. Если D на AO, то AD = AO - OD. OD — радиус, если D на окружности. OD=54. AD = 90 - 54 = 36.

Вариант трактовки 2 (исходя из рисунка): Центр окружности — O. Радиус OB = 54. Точка A вне окружности. Отрезок AB = 72. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Рисунок показывает, что A, D, O лежат на одной прямой. OB — радиус. OB = 54. Треугольник ABO — прямоугольный, \( \angle ABO = 90° \). AO = \( \sqrt{AB^2 + OB^2} = \sqrt{72^2 + 54^2} = 90 \). Точка D лежит на отрезке AO, и OD — радиус. Следовательно, OD = 54. AD = AO - OD = 90 - 54 = 36.

Ответ: 36