19. Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями

Для решения задачи необходимо знать, какие именно линии ограничивают фигуру. В условии указаны \( y = 3x - x^2 \) и \( y = 0 \). Это парабола, ветви которой направлены вниз, и ось абсцисс.

Решение:

Найдем точки пересечения параболы \( y = 3x - x^2 \) с осью абсцисс \( y = 0 \).

\( 3x - x^2 = 0 \).

\( x(3 - x) = 0 \).

Точки пересечения: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 3 \).

Площадь фигуры будем вычислять с помощью определенного интеграла:

\( S = \int_{0}^{3} (3x - x^2) dx \).

Найдем первообразную для функции \( 3x - x^2 \):

\( F(x) = \int (3x - x^2) dx = \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \).

Теперь вычислим определенный интеграл:

\( S = F(3) - F(0) = \left( \frac{3(3)^2}{2} - \frac{(3)^3}{3} \right) - \left( \frac{3(0)^2}{2} - \frac{(0)^3}{3} \right) \).

\( S = \left( \frac{3 \cdot 9}{2} - \frac{27}{3} \right) - (0 - 0) \).

\( S = \frac{27}{2} - 9 \).

\( S = \frac{27}{2} - \frac{18}{2} = \frac{9}{2} \).

\( S = 4.5 \).

Ответ: 4.5.