14. Точкой максимума функции f(x) = 16x³ + 81x² - 21х – 2 является...

Решение:

Найдем производную функции: \( f'(x) = 48x^2 + 162x - 21 \).

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 48x^2 + 162x - 21 = 0 \).

Разделим уравнение на 3: \( 16x^2 + 54x - 7 = 0 \).

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = 54^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-7) = 2916 + 448 = 3364 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{3364} = 58 \).

Найдем корни: \( x_1 = \frac{-54 + 58}{2 \cdot 16} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} \).

\( x_2 = \frac{-54 - 58}{2 \cdot 16} = \frac{-112}{32} = -\frac{112}{32} = -\frac{14}{4} = -3.5 \).

Определим знаки производной:

• На \( (-\infty; -3.5) \) производная положительна, функция возрастает.
• На \( (-3.5; 1/8) \) производная отрицательна, функция убывает.
• На \( (1/8; +\infty) \) производная положительна, функция возрастает.

Следовательно, точка \( x = -3.5 \) является точкой максимума.

Ответ: 4) -3,5.