19. (4 балла) Исследовать и построить график функции f(x)= x^5 - 3x^4 (область определения, множество значений, нули функции, нуль аргумента, знаки функции, четность/нечетность, экстремумы и промежутки возрастания/убывания, точки перегиба и промежутки выпуклости) А) по графику найти наибольшее значение функции на отрезке [-2; 2] Б) по графику найти точку в которой касательная параллельна Ох

Решение:

19. Исследование функции \( f(x) = x^5 - 3x^4 \)

1. Область определения: \( D(f) = \mathbb{R} \) (любое действительное число).
2. Нули функции: \( x^5 - 3x^4 = 0 \) \( \Rightarrow x^4(x - 3) = 0 \) \( \Rightarrow x = 0 \) или \( x = 3 \).
3. Знаки функции:
   • При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( (-1)^4(-1 - 3) = 1 \cdot (-4) = -4 < 0 \).
   • При \( 0 < x < 3 \) (например, \( x = 1 \)): \( 1^4(1 - 3) = 1 \cdot (-2) = -2 < 0 \).
   • При \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \( 4^4(4 - 3) = 256 \cdot 1 = 256 > 0 \).
4. Четность/Нечетность: \( f(-x) = (-x)^5 - 3(-x)^4 = -x^5 - 3x^4 \). Так как \( f(-x) \) не равно \( f(x) \) и \( -f(x) \), функция не является ни четной, ни нечетной.
5. Производная: \( f'(x) = 5x^4 - 12x^3 = x^3(5x - 12) \).
6. Экстремумы: \( f'(x) = 0 \) при \( x = 0 \) и \( x = \frac{12}{5} = 2.4 \).
   • При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( (-1)^3(5(-1) - 12) = (-1)(-17) = 17 > 0 \) (возрастание).
   • При \( 0 < x < 2.4 \) (например, \( x = 1 \)): \( 1^3(5(1) - 12) = 1(-7) = -7 < 0 \) (убывание).
   • При \( x > 2.4 \) (например, \( x = 3 \)): \( 3^3(5(3) - 12) = 27(3) = 81 > 0 \) (возрастание).
   Следовательно, в \( x = 0 \) — максимум, в \( x = 2.4 \) — минимум.
7. Промежутки возрастания/убывания: \( (-\infty; 0] \) и \( [2.4; +\infty) \) — возрастание; \( [0; 2.4] \) — убывание.
8. Вторая производная: \( f''(x) = 20x^3 - 36x^2 = 4x^2(5x - 9) \).
9. Точки перегиба: \( f''(x) = 0 \) при \( x = 0 \) и \( x = \frac{9}{5} = 1.8 \).
   • При \( x < 1.8 \) (например, \( x = 1 \)): \( 4(1)^2(5(1) - 9) = 4(-4) = -16 < 0 \) (выпуклость вверх).
   • При \( x > 1.8 \) (например, \( x = 2 \)): \( 4(2)^2(5(2) - 9) = 16(1) = 16 > 0 \) (выпуклость вниз).
   Следовательно, в \( x = 1.8 \) — точка перегиба.
10. Промежутки выпуклости: \( (-\infty; 1.8) \) — выпуклость вверх; \( (1.8; +\infty) \) — выпуклость вниз.

А) Наибольшее значение функции на отрезке [-2; 2]:

На отрезке \( [-2; 2] \), функция возрастает до \( x=0 \), убывает до \( x=2 \).

Вычислим значения на концах отрезка и в точке экстремума \( x=0 \):

• \( f(-2) = (-2)^5 - 3(-2)^4 = -32 - 3(16) = -32 - 48 = -80 \).
• \( f(0) = 0^5 - 3(0)^4 = 0 \).
• \( f(2) = 2^5 - 3(2)^4 = 32 - 3(16) = 32 - 48 = -16 \).

Наибольшее значение на отрезке \( [-2; 2] \) равно \( 0 \) при \( x = 0 \).

Б) Точка, в которой касательная параллельна Ох:

Касательная параллельна оси Ох, когда её угловой коэффициент равен нулю, то есть \( f'(x) = 0 \).

Мы нашли, что \( f'(x) = 0 \) при \( x = 0 \) и \( x = 2.4 \).

Найдем соответствующие значения \( y \):

• При \( x = 0 \): \( y = f(0) = 0 \). Точка (0; 0).
• При \( x = 2.4 \): \( y = f(2.4) = (2.4)^5 - 3(2.4)^4 = (2.4)^4 (2.4 - 3) = (33.1776)(-0.6) \( \approx -19.90656 \). Точка (2.4; -19.90656).

График функции (для визуализации):

Ответ: А) Наибольшее значение функции на отрезке [-2; 2] равно 0. Б) Точки, в которых касательная параллельна Ох: (0; 0) и (2.4; -19.90656).