Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
1. Область определения: \( D(f) = (-\infty; +\infty) \), так как функция является многочленом.
2. Нули функции: \( f(x) = x^5 - 3x^4 = x^4(x - 3) = 0 \). Нули функции: \( x = 0 \) (кратности 4) и \( x = 3 \) (кратности 1).
3. Знаки функции:
- При \( x < 0 \): \( x^4 > 0 \), \( x - 3 < 0 \) => \( f(x) < 0 \).
- При \( 0 < x < 3 \): \( x^4 > 0 \), \( x - 3 < 0 \) => \( f(x) < 0 \).
- При \( x > 3 \): \( x^4 > 0 \), \( x - 3 > 0 \) => \( f(x) > 0 \).
4. Четность/нечетность:
\( f(-x) = (-x)^5 - 3(-x)^4 = -x^5 - 3x^4 \). \( f(-x) \neq f(x) \) и \( f(-x) \neq -f(x) \), следовательно, функция ни четная, ни нечетная.
5. Производная и экстремумы:
\( f'(x) = 5x^4 - 12x^3 = x^3(5x - 12) \). Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = \frac{12}{5} = 2.4 \).
6. Промежутки возрастания/убывания:
- При \( x < 0 \): \( x^3 < 0 \), \( 5x - 12 < 0 \) => \( f'(x) > 0 \) (возрастание).
- При \( 0 < x < 2.4 \): \( x^3 > 0 \), \( 5x - 12 < 0 \) => \( f'(x) < 0 \) (убывание).
- При \( x > 2.4 \): \( x^3 > 0 \), \( 5x - 12 > 0 \) => \( f'(x) > 0 \) (возрастание).
Точка \( x = 0 \) — точка перегиба, точка \( x = 2.4 \) — точка минимума.
7. Вторая производная и точки перегиба:
\( f''(x) = 20x^3 - 36x^2 = 4x^2(5x - 9) \). Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = \frac{9}{5} = 1.8 \).
8. Промежутки выпуклости:
- При \( x < 1.8 \): \( 4x^2 > 0 \), \( 5x - 9 < 0 \) => \( f''(x) < 0 \) (выпуклость вверх).
- При \( x > 1.8 \): \( 4x^2 > 0 \), \( 5x - 9 > 0 \) => \( f''(x) > 0 \) (выпуклость вниз).
Точка \( x = 1.8 \) — точка перегиба.
9. Построение графика:
На основе полученных данных строим график функции.
А) Наибольшее значение функции на отрезке [-2; 2]:
Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках внутри отрезка:
- \( f(-2) = (-2)^5 - 3(-2)^4 = -32 - 3(16) = -32 - 48 = -80 \)
- \( f(0) = 0 \)
- \( f(2) = 2^5 - 3(2)^4 = 32 - 3(16) = 32 - 48 = -16 \)
Наибольшее значение функции на отрезке [-2; 2] равно 0.
Б) Точка, в которой касательная параллельна Ох:
Касательная параллельна оси Ох, когда производная функции равна нулю. Это происходит в критических точках \( x = 0 \) и \( x = 2.4 \).
В точке \( x = 0 \), \( f(0) = 0 \). Точка (0; 0).
В точке \( x = 2.4 \), \( f(2.4) = (2.4)^5 - 3(2.4)^4 \approx 79.626 - 3(33.1776) \approx 79.626 - 99.5328 \approx -19.9068 \). Точка (2.4; -19.91).
Ответ: А) Наибольшее значение функции на отрезке [-2; 2] равно 0. Б) Точки, в которых касательная параллельна Ох: (0; 0) и (2.4; -19.91).
