19. (3 балла) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = 2x³ - 9x² - 3 на [-1; 4].

Решение:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке, нужно вычислить значения функции в критических точках (где производная равна нулю или не существует) и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции:

\[ y' = (2x^3 - 9x^2 - 3)' = 6x^2 - 18x \]

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 6x^2 - 18x = 0 \]

\[ 6x(x - 3) = 0 \]

Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 3 \).

3. Обе критические точки \( x=0 \) и \( x=3 \) принадлежат отрезку [-1; 4].
4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

• При \( x = -1 \): \( y = 2(-1)^3 - 9(-1)^2 - 3 = 2(-1) - 9(1) - 3 = -2 - 9 - 3 = -14 \)
• При \( x = 0 \): \( y = 2(0)^3 - 9(0)^2 - 3 = 0 - 0 - 3 = -3 \)
• При \( x = 3 \): \( y = 2(3)^3 - 9(3)^2 - 3 = 2(27) - 9(9) - 3 = 54 - 81 - 3 = -27 - 3 = -30 \)
• При \( x = 4 \): \( y = 2(4)^3 - 9(4)^2 - 3 = 2(64) - 9(16) - 3 = 128 - 144 - 3 = -16 - 3 = -19 \)

Сравним полученные значения: -14, -3, -30, -19.

Наибольшее значение функции равно -3.

Наименьшее значение функции равно -30.

Ответ: Наибольшее значение функции: -3, наименьшее значение функции: -30.