18. Сократите дробь рациональным способом:

Решение:

1)

\[ \frac{7.8 \cdot 2.7}{9.0.3 \cdot 3.9} = \frac{78 \cdot 27}{90 \cdot 3 \cdot 39} \]

Разложим числа на множители:

\[ \frac{(2 \cdot 3 \cdot 13) \cdot (3^3)}{(2 \cdot 3^2 \cdot 5) \cdot 3 \cdot (3 \cdot 13)} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 13 \cdot 3^3}{2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 13} = \frac{2 \cdot 3^4 \cdot 13}{2 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 13} \]

Сокращаем общие множители:

\[ \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{3^4} \cdot \cancel{13}}{\cancel{2} \cdot \cancel{3^4} \cdot 5 \cdot \cancel{13}} = \frac{1}{5} \]

2)

\[ \frac{8a + 16a}{2 \cdot 8a} = \frac{24a}{16a} \]

Сокращаем \( a \) (при условии \( a \neq 0 \)) и делим числитель и знаменатель на 8:

\[ \frac{24 \cancel{a}}{16 \cancel{a}} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} \]

3)

\[ \frac{31 \cdot 90 - 35 \cdot 31}{35 \cdot 31} = \frac{31(90 - 35)}{35 \cdot 31} \]

Сокращаем 31:

\[ \frac{\cancel{31}(90 - 35)}{35 \cdot \cancel{31}} = \frac{90 - 35}{35} = \frac{55}{35} \]

Сокращаем на 5:

\[ \frac{55}{35} = \frac{11}{7} \]

4)

\[ \frac{57x + 19x}{19x \cdot 4} = \frac{19x(3 + 1)}{19x \cdot 4} \]

Сокращаем \( 19x \) (при условии \( x \neq 0 \)):

\[ \frac{\cancel{19x}(3 + 1)}{\cancel{19x} \cdot 4} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]

Ответ: 1) $$\frac{1}{5}$$; 2) $$\frac{3}{2}$$; 3) $$\frac{11}{7}$$; 4) $$1$$.