18. (1-3 балла) Решите уравнение: 2sin²x + 5 sinx - 3 = 0

Решение:

Данное уравнение является квадратным относительно \( \sin x \u0011 \).

Сделаем замену переменной: пусть \( t = \sin x \u0011 \). Тогда уравнение примет вид:

\( 2t^2 + 5t - 3 = 0 \).

Решим это квадратное уравнение относительно \( t \). Найдем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \).

Найдем корни \( t_1 \) и \( t_2 \):

\( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).

\( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \).

Теперь вернемся к замене \( t = \sin x \u0011 \).

1. \( \sin x \u0011 = \frac{1}{2} \).

Это уравнение имеет решения:

\( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) или \( x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

2. \( \sin x \u0011 = -3 \).

Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса всегда находится в пределах от -1 до 1 ( \( -1 \le \sin x \le 1 \) ), а -3 находится вне этого диапазона.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).