171. В окружности, радиус которой равен 1, проведены два взаимно перпендикулярных диаметра АС и BD, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АКС, где К лежит на радиусе ОВ и ОК = 1/√3. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• Окружность с центром O и радиусом R = 1.
• Диаметры AC ⊥ BD.
• Точка K лежит на радиусе OB.
• OK = 1 √3

Найти: ∠AKC (в градусах)

Решение:

1. Система координат: Введем систему координат с началом в точке O. Пусть ось Ox совпадает с OC, а ось Oy совпадает с OB.
• Тогда координаты точек:
• O = (0, 0)
• C = (1, 0)
• B = (0, 1)
• A = (-1, 0)
• D = (0, -1)
2. Координаты точки K: Точка K лежит на радиусе OB, который совпадает с осью Oy. Так как OK = 1 √3 , то координаты точки K будут:
3. K = (0, 1 √3 )
4. Векторы: Найдем векторы KA и KC.
• KA = A - K = (-1 - 0, 0 - 1 √3 ) = (-1, - 1 √3 )
• KC = C - K = (1 - 0, 0 - 1 √3 ) = (1, - 1 √3 )
5. Скалярное произведение: Угол между векторами KA и KC можно найти с помощью скалярного произведения.
• KA ⋅ KC = |KA| ⋅ |KC| ⋅ cos(∠AKC)
• KA ⋅ KC = (-1)(1) + (- 1 √3 )(- 1 √3 ) = -1 + 1 3 = - 2 3
• |KA| = √((-1)² + (- 1 √3 )²) = √(1 + 1 3 ) = √(4/3) = 2 √3
• |KC| = √(1² + (- 1 √3 )²) = √(1 + 1 3 ) = √(4/3) = 2 √3
6. Вычисление угла:
• cos(∠AKC) = (KA ⋅ KC) / (|KA| ⋅ |KC|) = (- 2 3 ) / (( 2 √3 ) ⋅ ( 2 √3 )) = (- 2 3 ) / ( 4 3 ) = - 2 4 = - 1 2
7. Определение угла: Угол, косинус которого равен - 1 2 , равен 120°.

Ответ: 120