17. В прямоугольнике диагональ равна 12, угол между ней и одной из сторон равен 60°, длина этой стороны равна 6. Найдите площадь прямоугольника, делённую на √3.

Решение:

В прямоугольнике диагональ, одна из сторон и вторая сторона образуют прямоугольный треугольник. Пусть диагональ \( d = 12 \), одна из сторон \( a = 6 \). Угол между диагональю и этой стороной равен \( \alpha = 60^{\circ} \).

Используем тригонометрию для нахождения второй стороны \( b \):

\( \cos(\alpha) = \frac{a}{d} \)

\( \cos(60^{\circ}) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \)

Это подтверждает, что \( a=6 \) и \( d=12 \) соответствуют углу \( 60^{\circ} \).

Теперь найдём вторую сторону \( b \) используя синус:

\( \sin(\alpha) = \frac{b}{d} \)

\( b = d \cdot \sin(\alpha) = 12 \cdot \sin(60^{\circ}) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \).

Площадь прямоугольника \( S = a \cdot b = 6 \cdot 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \).

Нам нужно найти площадь, делённую на \( \sqrt{3} \):

\( \frac{S}{\sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 36 \).

Ответ: 36