17. Тип 17 № 311457 i Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием BC и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно.

Решение:

Дан равнобедренная трапеция ABCD, где BC || AD. Основания BC и AD, боковые стороны AB = CD.

Дано:

• \( \angle ACB = 30^\circ \) (угол между диагональю AC и основанием BC)
• \( \angle ACD = 105^\circ \) (угол между диагональю AC и боковой стороной CD)

Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании равны. Также диагонали равны, \( AC = BD \).

Сначала найдём \( \angle BCD \):

\( \angle BCD = \angle ACB + \angle ACD = 30^\circ + 105^\circ = 135^\circ \)

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, и сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.

\( \angle BCD + \angle ADC = 180^\circ \)

\( 135^\circ + \angle ADC = 180^\circ \)

\( \angle ADC = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \)

Углы при меньшем основании равны, значит, \( \angle ABC = \angle BCD = 135^\circ \) (если BC - меньшее основание) или \( \angle BAD = \angle ADC = 45^\circ \) (если AD - меньшее основание).

Рассмотрим треугольник ACD.

Известно \( \angle ADC = 45^\circ \) и \( \angle ACD = 105^\circ \).

Сумма углов в треугольнике равна 180°, найдём \( \angle CAD \):

\( \angle CAD = 180^\circ - \angle ADC - \angle ACD \)

\( \angle CAD = 180^\circ - 45^\circ - 105^\circ \)

\( \angle CAD = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \)

Теперь рассмотрим углы при основании AD:

\( \angle BAD = \angle CAD + \angle CAB \)

Так как трапеция равнобедренная, \( AB = CD \) и \( AC = BD \).

\( \angle CAD = 30^\circ \) и \( \angle ACB = 30^\circ \). Эти углы являются накрест лежащими при параллельных прямых BC и AD и секущей AC. Это подтверждает, что BC || AD.

Так как трапеция равнобедренная, то \( \angle BAC = \angle ACD = 105^\circ \) (накрёст лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей AC) - это неверно.

В равнобедренной трапеции \( \angle BAC = \angle CDB \) и \( \angle CAD = \angle ADB \).

Мы нашли \( \angle CAD = 30^\circ \).

Углы при основании AD равны: \( \angle BAD = \angle ADC = 45^\circ \).

\( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD \)

\( 45^\circ = \angle BAC + 30^\circ \)

\( \angle BAC = 45^\circ - 30^\circ = 15^\circ \)

Теперь найдём углы трапеции:

Углы при основании AD: \( \angle ADC = 45^\circ \) и \( \angle BAD = 45^\circ \).

Углы при основании BC: \( \angle ABC = \angle BCD = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \).

Углы трапеции равны \( 45^\circ, 45^\circ, 135^\circ, 135^\circ \). Наименьший угол равен \( 45^\circ \).

Проверим условие \( \angle ACD = 105^\circ \). Мы получили \( \angle BCD = 135^\circ \).

\( \angle ACB = 30^\circ \).

\( \angle ACD = \angle BCD - \angle ACB = 135^\circ - 30^\circ = 105^\circ \). Условие выполняется.

Ответ: 45°.